Question

из угла, тангенс которого равен 7/16, провели высоту к стороне BC, которая поделила её на отрезки 17, и 13 см. Какова площадь данного треугольника

Answer 1

Ответ:

$S = \frac{{15(240 + \sqrt {68\,429} )}}{7}$

Объяснение:

Пусть высота $AH = x$. Тогда из прямоугольного треугольника $AHB$

${\mathop{\rm tg}\nolimits} \angle BAH = \displaystyle\frac{{17}}{x},$

а из прямоугольного треугольника $AHC$

${\mathop{\rm tg}\nolimits} \angle CAH = \displaystyle\frac{{13}}{x}.$

С помощью формула тангенса суммы

${\mathop{\rm tg}\nolimits} (\alpha + \beta ) = \displaystyle\frac{{{\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha + {\mathop{\rm tg}\nolimits} \beta }}{{1 - {\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha {\mathop{\rm tg}\nolimits} \beta }}$

запишем:

${\mathop{\rm tg}\nolimits} \angle A = {\mathop{\rm tg}\nolimits} (\angle BAH + \angle CAH) = \displaystyle\frac{{{\mathop{\rm tg}\nolimits} \angle BAH + {\mathop{\rm tg}\nolimits} \angle CAH}}{{1 - {\mathop{\rm tg}\nolimits} \angle BAH \cdot {\mathop{\rm tg}\nolimits} \angle CAH}};$

$\displaystyle\frac{7}{{16}} = \displaystyle\frac{{\displaystyle\frac{{17}}{x} + \displaystyle\frac{{13}}{x}}}{{1 - \displaystyle\frac{{17}}{x} \cdot \displaystyle\frac{{13}}{x}}};$

$\displaystyle\frac{7}{{16}} = \displaystyle\frac{{\displaystyle\frac{{30}}{x}}}{{1 - \displaystyle\frac{{221}}{{{x^2}}}}};$

$16 \cdot \displaystyle\frac{{30}}{x} = 7\left( {1 - \displaystyle\frac{{221}}{{{x^2}}}} \right);\\\\\displaystyle\frac{{480}}{x} = \displaystyle\frac{{7({x^2} - 221)}}{{{x^2}}};\\480x = 7{x^2} - 1547;\\\\7{x^2} - 480x - 1547 = 0;\\\\D = {480^2} + 4 \cdot 7 \cdot 1547 = 230\,400 + 43\,316 = 273\,716 = {(2\sqrt {68\,429} )^2};\\\\x = \displaystyle\frac{{480 \pm 2\sqrt {68\,429} }}{{2 \cdot 7}} = \displaystyle\frac{{240 \pm \sqrt {68\,429} }}{7}.$

Так как ${240^2} = 57\,600 < 68\,429 = {(\sqrt {68\,429} )^2},$ корень

$\displaystyle\frac{{240 - \sqrt {68\,429} }}{7} < 0,$

т. е. посторонний.

Значит

$AH = \displaystyle\frac{{240 + \sqrt {68\,429} }}{7},$

а площадь

$S = \displaystyle\frac{1}{2}ah = \displaystyle\frac{1}{2}BC \cdot AH = \displaystyle\frac{1}{2} \cdot (17 + 13) \cdot \displaystyle\frac{{240 + \sqrt {68\,429} }}{7} = \displaystyle\frac{{15(240 + \sqrt {68\,429} )}}{7}.$