Question

Укажите интервал m , всегда удовлетворяющий неравенству mx^2+x+3>0

Answer 1

Приравняем трёхчлен к нулю и найдём его дискриминант:

$mx^2+x+3=0\\D=1^2-4 \cdot 3m=1-12m$

Чтобы выполнялось требуемое неравенство, нужно выполнение двух условий: 1) m>0 (тогда ветви будут направленны вверх — если вниз, то в силу непрерывности функции она обязательно будет принимать отрицательные значения. 2) Дискриминант должен был отрицательным:

$\begin{cases}m > 0 \\ 1-12m < 0\end{cases}\\\begin{cases}m > 0 \\ 12m > 1\end{cases}\\\\\begin{cases}m > 0\\m > \dfrac{1}{12}\\\end{cases}\\m > \dfrac{1}{12}$

Случай m=0 рассматривать не будем, потому что тогда квадратный трёхчлен превратится в линейную функцию, которая принимает любые значения.

Ответ: $m > \dfrac{1}{12}$