Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА ДАМ 20 БАЛЛОВ!. С 8 и 9

Answer 1

Ответ:

8.  f'(x) ≥ 0 при x ∈ [-1; 2].

9. Ответ: 1.

Пошаговое объяснение:

8. Функция задана формулой

$\displaystyle \bf f(x)=2x+\frac{x^2}{2} -\frac{x^3}{3}$

Решите неравенcтво f'(x) ≥ 0

9. Найдите все корни уравнения

$\displaystyle \bf 5\cdot9^x+2\cdot15^x-3\cdot25^x=0$

8. Для начала найдем производную f'(x).

Производная степенной функции найдем по формуле:

$\displaystyle \bf \boxed { (x^n)'=nx^{n-1}}$

Получим:

$\displaystyle \bf f'(x)=2+\frac{2x}{2}-\frac{3x^2}{3}=-x^2+x+2$

Решим неравенство f'(x) ≥ 0:

$\displaystyle \bf -x^2+x+2\geq 0\;\;\;|\cdot(-1)$

• При умножении двух частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства перевернется.

$\displaystyle \bf x^2-x-2\leq 0$

По теореме Виета:

$\displaystyle \bf x_1=2;\;\;\;\;\;x_2=-1$

(x - 2)(x + 1) ≤ 0

Отметим корни на числовой оси и найдем знаки на промежутках:

$+++[-1]---[2]+++$

⇒ x ∈ [-1; 2]

9.  $\displaystyle \bf 5\cdot9^x+2\cdot15^x-3\cdot25^x=0$

Разделим обе части уравнения на 9ˣ:

$\displaystyle \bf 5\cdot9^x+2\cdot15^x-3\cdot25^x=0\;\;\;|:9^x\\\\5+2\cdot\frac{15^x}{9^x} -3\cdot\frac{25^x}{9^x}=0\\ \\5+2\cdot\left(\frac{5}{3}\right)^x -3\cdot\left(\frac{5^2}{3^2}\right)^x =0\\\\-3\cdot\left(\frac{5}{3}\right)^{2x}+2\cdot\left(\frac{5}{3}\right)^x +5=0\;\;\;\;\;|\cdot(-1) \\\\3\cdot\left(\frac{5}{3}\right)^{2x}-2\cdot\left(\frac{5}{3}\right)^x -5=0$

Пусть   $\displaystyle \bf \left(\frac{5}{3}\right)^x =t,\;\;\;t > 0$

Получим уравнение:

3t² - 2t - 5 = 0

D = 4 + 60 = 64

√D = 8

$\displaystyle \bf t_1=\frac{2+8}{6}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3};\;\;\;\;\;t_2=\frac{2-8}{6}=-1$

t₂ < 0 ⇒ посторонний корень.

Выполним обратную замену:

$\displaystyle \bf \left(\frac{5}{3}\right)^x =\frac{5}{3} \\\\x=1$

Ответ: 1.