Висота і медіана трикутника, проведені всередині його з однієї вершини, різні і утворюють однакові кути із сторонами, що виходять з тієї самої вершини. Знайдіть радіус описаного кола, якщо медіана дорівнює m.
(С рисунком пожалуйста)
Ответы
Ответ:
Радиус описанной окружности равен m.
Объяснение:
Высота и медиана треугольника, проведенные внутри его из одной вершины, различны и образуют одинаковые углы со сторонами, выходящими из той же вершины. Найдите радиус описанной окружности, если медиана равна m.
Дано: ΔАВС;
Окр. - описана около ΔАВС;
ВН - высота; ВМ = m - медиана;
∠АВМ = ∠НВС.
Найти: R описанной окружности.
Решение:
Продолжим ВМ до пересечения с окружностью и поставим точку Е.
А и Е соединим.
1. Рассмотрим ΔЕАВ и ΔВНС.
∠АВМ = ∠НВС (по условию)
- Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
⇒ ∠АЕВ = ∠АСВ (опираются на ◡АВ)
- Сумма углов треугольника равна 180°.
⇒ ∠ВНС = ∠ЕАВ
∠ВНС = 90° (условие) ⇒ ∠ЕАВ = 90°
2. ∠ЕАВ = 90°
- Если вписанный угол прямой, то он опирается на диаметр.
⇒ ЕВ - диаметр.
Предположим, что АС - хорда.
АМ = МС (условие)
Если диаметр диаметр делит хорду пополам, то он перпендикулярен ей.
⇒ ВЕ ⊥ АС.
Но по условию высота и медиана треугольника, проведенные внутри его из одной вершины, различны.
ВН ⊥ АС (по условию)
- Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.
Значит, предположение, что АС - хорда, ошибочно!
⇒ АС может быть только диаметром.
Тогда точка М - центр описанной окружности.
⇒ R = MB = m
#SPJ1
