Question

помогите решить пожалуйста

Answer 1

Ответ:

а) $x \in [ - 5;\,\, - 2) \cup ( - 2;\,\,2) \cup \{ 4\} ;$

б) $x \in [ - 4;\,\, - 1) \cup ( - 1;\,\,0) \cup (0;\,\,1) \cup \{ 3\} ;$

в) $x \in ( - \infty ;\,\, - 6) \cup ( - 6;\,\, + \infty )$

Пошаговое объяснение:

а)

$\displaystyle\frac{{({x^2} + 7x + 10){{(x - 4)}^2}}}{{4 - {x^2}}} \ge 0$

Разложим на множители выражения в числителе и знаменателе дроби.

Для этого найдем корни трехчлена ${x^2} + 7x + 10.$ По теореме Виета

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 7,\\{x_1}{x_2} = 10,\end{array} \right.$

откуда подбором находим, что ${x_1} = - 5,\ {x_2} = - 2.$

Так как $a{x^2} + bx + c = a(x - {x_1})(x - {x_2}),$ то ${x^2} + 7x + 10 = (x + 5)(x + 2).$

Знаменатель $4 - {x^2} = {2^2} - {x^2}$ раскладывается на множители с помощью формулы разности квадратов

${a^2} - {b^2} = (a - b)(a + b);\ 4 - {x^2} = (2 - x)(2 + x).$

Получаем:

$\displaystyle\frac{{(x + 5)(x + 2){{(x - 4)}^2}}}{{(2 - x)(2 + x)}} \ge 0;\\\\\left\{ \begin{array}{l}\displaystyle\frac{{(x + 5){{(x - 4)}^2}}}{{2 - x}} \ge 0,\\x + 2 \ne 0.\end{array} \right.$

С помощью метода интервалов исследуем знак левой части первого неравенства на промежутках знакопостоянства (см. рис.), из результата следует исключить точку $x = - 2$, которая является решением неравенства $x + 2 \ne 0.$

Ответ:

$x \in [ - 5;\,\, - 2) \cup ( - 2;\,\,2) \cup \{ 4\} .$

б)

$\displaystyle\frac{{({x^2} + 5x + 4){{(x - 3)}^2}}}{{(1 - {x^2}){x^2}}} \ge 0$

Как и в предыдущем примере, раскладываем на множители выражения ${x^2} + 5x + 4$ и $1 - {x^2}$.

Корни трехчлена ${x^2} + 5x + 4$ находим по теореме Виета:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 5,\\{x_1}{x_2} = 4,\end{array} \right.$

откуда ${x_1} = - 4,\ {x_2} = - 1.$

Значит ${x^2} + 5x + 4 = (x + 4)(x + 1).$

$1 - {x^2} = (1 - x)(1 + x).$

Тогда

$\displaystyle\frac{{(x + 4)(x + 1){{(x - 3)}^2}}}{{(1 - x)(1 + x){x^2}}} \ge 0;\\\\\left\{ \begin{array}{l}\displaystyle\frac{{(x + 4){{(x - 3)}^2}}}{{(1 - x){x^2}}} \ge 0,\\x + 1 \ne 0.\end{array} \right.$

С помощью метода интервалов исследуем знак левой части неравенства на промежутках знакопостоянства (см. рис.), из результата следует исключить точку $x = - 1$, которая является решением неравенства $x + 1 \ne 0.$

Ответ:

$x \in [ - 4;\,\, - 1) \cup ( - 1;\,\,0) \cup (0;\,\,1) \cup \{ 3\} .$

в)

$\displaystyle\frac{{{{(5 - x)}^2}{{(x - 19)}^2}}}{{{{(x + 6)}^2}}} \ge 0;\\\\{\left( {\displaystyle\frac{{(5 - x)(x - 19)}}{{x + 6}}} \right)^2} \ge 0;\\\\x + 6 \ne 0;\\\\x \ne - 6.$

Ответ:

$x \in ( - \infty ;\,\, - 6) \cup ( - 6;\,\, + \infty ).$

#SPJ1