Question

Сума катетів прямокутного трикутника дорівнює 70 см, а сума медіани і
висоти, проведеної до гіпотенузи, - 49 см. Знайдіть периметр
трикутника.

Answer 1

Ответ:

Периметр треугольника равен 120 см

Объяснение:

Пусть один из катетов прямоугольного треугольника равен $x,$ тогда второй — $70 - x.$

По теореме Пифагора гипотенуза такого треугольника равна

$\sqrt {{x^2} + {{(70 - x)}^2}} = \sqrt {{x^2} + 4900 - 140x + {x^2}} = \sqrt {2{x^2} - 140x + 4900} .$

В прямоугольном треугольнике длина медианы, проведенной к гипотенузе, равна ее половине, т. е.

$m = \displaystyle\frac{{\sqrt {2{x^2} - 140x + 4900} }}{2},$

а высота, проведенная к гипотенузе, вычисляется через формулу $h = \displaystyle\frac{{ab}}{c},$ т. е.

$h = \displaystyle\frac{{x(70 - x)}}{{\sqrt {2{x^2} - 140x + 4900} }}.$

По условию

$m + h = 49;\\\\\displaystyle\frac{{\sqrt {2{x^2} - 140x + 4900} }}{2} + \displaystyle\frac{{x(70 - x)}}{{\sqrt {2{x^2} - 140x + 4900} }} = 49.$

Заметим, что дискриминант квадратного трехчлена $2({x^2} - 70x + 2450)$ отрицательный, значит выражение под корнем никогда не превращается в ноль. Умножим обе части уравнения на $2\sqrt {2{x^2} - 140x + 4900}$ :

$2{x^2} - 140x + 4900 + 2x(70 - x) = 98\sqrt {2{x^2} - 140x + 4900} ;\\\\2{x^2} - 140x + 4900 + 140x - 2{x^2} = 98\sqrt {2{x^2} - 140x + 4900} ;\\\\98\sqrt {2{x^2} - 140x + 4900} = 4900;\\\\\sqrt {2{x^2} - 140x + 4900} = 50;\\\\2{x^2} - 140x + 4900 = 2500;\\\\2{x^2} - 140x + 2400 = 0;\\\\{x^2} - 70x + 1200 = 0;\\\\\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 70,\\{x_1}{x_2} = 1200;\end{array} \right.\\\\{x_1} = 30,\,\,{x_2} = 40.$

Значит катеты треугольника 30 и 40, а гипотенуза

$\sqrt {{{30}^2} + {{40}^2}} = \sqrt {900 + 1600} = \sqrt {2500} = 50.$

Таким образом, периметр треугольника равен

$P = 30 + 40 + 50 = 120.$

Answer 2

Ответ:

Периметр треугольника равен 120 см.

Объяснение:

Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 70 см, а сумма медианы и высоты , проведенных к гипотенузе, равна 49 см . Найти периметр треугольника.

Пусть дан Δ АВС , в котором  a и b  - катеты , с - гипотенуза .

Тогда а+ b =70 см

Медиану, проведенную к гипотенузе, назовем $m{_c}$, а высоту, проведенную  к гипотенузе назовем $h{_c}$

Так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, то $m{_c}= \dfrac{c}{2}$

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, определяется по формуле $h{_c}= \dfrac{a\cdot b}{c}$

где a,b-катеты , c - гипотенуза.

По условию

$m{_c}+h{_c}= 49$ см

Тогда

$\dfrac{c}{2} +\dfrac{a\cdot b }{c} =49|\cdot 2c\neq 0 ;\\\\c^{2} +2ab =98c$ (1)

Теорема Пифагора : в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

$c^{2} =a^{2} +b^{2} .$

Подставим в равенство (1) вместо $c^{2}$  выражение  $a^{2} +b^{2}$

$a^{2} +b^{2} +2ab =98c$

Применим формулу сокращенного умножения

$a^{2} +2ab+b^{2} =(a+b)^{2}$

$(a+b)^{2}=98c$

По условию а+ b =70.

$70^{2} =98\cdot c\\\\c= \dfrac{70^{2} }{98} =\dfrac{4900}{98} =\dfrac{49\cdot2\cdot50 }{49\cdot2} =50$

Значит, гипотенуза с= 50 см.

Периметр треугольника - это сумма длин всех сторон .

Тогда P=a+b+c

P= 70 + 50 =120 cм