Question

У продавца имеется три сорта конфет. По продажной цене 13 рублей за 1 кг,по 19 рублей за 1 кг и по 37 рублей за 1 кг. Он хочет составить такую смесь,чтобы продавать ее по цене 20 рублей за 1 кг. И иметь ту же прибылт,что была запланирована вначале. Как рассчитать,сколько килограммов каждого вида надо смешать для продажи?

Answer 1

Ответ:

Для составления такой смеси должно выполняться соотношение x : у : z = 1 : 3 : 2, где х - кол-во наборов за 37р; у - за 19 рублей; z - за 13 рублей.

Пример такой смеси: 3 набора за 37р, 9 наборов за 19р, 6 наборов за 13р.

Пошаговое объяснение:

1 вариант решения.

Для начала запишем равенство, которое должно выполняться.

Если цена одного килограмма смеси должна быть равна 20р, среднее арифметическое цены всех наборов, которые входят в смесь, должно быть равно 20.

Пусть в смеси x наборов по 37 рублей, у наборов по 19 рублей и z наборов по 13 рублей. Тогда среднее арифметическое х наборов по 37р, у наборов по 19р и z наборов по 13р равно:

$\displaystyle \frac{37x+19y+13z}{x +y+z}$

И это выражение должно быть равно 20. Тогда имеем следующее равенство:

$\displaystyle \frac{37x+19y+13z}{x +y+z} = 20$

Методом проб и ошибок находим х, у и z, которые будут удовлетворять  вышеуказанное равенство.

Попробуем взять по одному набору каждого вида:

$\displaystyle \frac{37\cdot 1+19 \cdot 1+13\cdot 1}{1+1+1} = \frac{50+19}{3}=69 \div3 =23$

Получаем среднее арифметическое 23, а нам нужно 20. Тогда нужно добавить больше дешёвых наборов (по 19р или 13р).

Попробуем х=1, у=1, z=2:

$\displaystyle \frac{37\cdot 1+19 \cdot 1+13\cdot 2}{1+1+2} = \frac{56+26}{4}=\frac{82}{4} =20,\!5$

В этот раз среднее арифметическое равно 20,5. Нужно ещё меньше.

Возьмём х=1, у=2, z=2:

$\displaystyle \frac{37\cdot 1+19 \cdot 2+13\cdot 2}{1+2+2} = \frac{37+38+26}{5}=\frac{101}{5} =20,\!2$

Среднее арифметическое в очередной раз больше 20. Добавляем ещё один набор за 13р.

х=1, у=2, z=3:

$\displaystyle \frac{37\cdot 1+19 \cdot 2+13\cdot 3}{1+2+3} = \frac{37+38+39}{6}=\frac{114}{6} =19$

Тут уже среднее арифметическое меньше 20. Попробуем вместо набора за 13 рублей добавить набор за 19р.

х=1, у=3, z=2:

$\displaystyle \frac{37\cdot 1+19 \cdot 3+13\cdot 2}{1+3+2} = \frac{37+57+26}{6}=\frac{120}{6} =20$

Мы нашли первую смесь: один набор за 37р, три набора за 19р и два набора за 13р.

2 вариант решения.

Выборочно берём любой набор и сравниваем его цену с числом 20, а далее - добавляем набор дороже либо дешевле, чтобы в итоге получить ноль.

Возьмём набор со средней ценой - 19р.

• 20 - 19 = -1р - одного рубля не хватает до цены 20 рублей.

Теперь недостачу с предыдущего суммируем с ценой набора за 13р либо 37р и находим разность получившегося числа с суммой в 20 рублей.

Возьмём самый дешёвый набор - за 13 рублей.

• (13 + (- 1)) - 20 = -8р - восемь рублей не хватает для цены в 20 рублей.

Повторим алгоритм, только в этот раз возьмём самый дорогой набор.

• (37 + (-8)) - 20 = 9р - остаток с трёх наборов по 20р.

Так как в этот раз у нас остаток а не недостача, берём средний набор за 19р.

• (9+19) - 20 = 8 рублей - остаток с четырёх наборов по 20р.

Остаток увеличивается, поэтому пробуем самый дешёвый набор.

• (8+13) - 20 = 1 рубль - остаток с 5-ти наборов по 20р.  

Берём набор за 19 рублей, так как в сумме с остатком с 5-ти наборов по 20р мы должны получить 20, что нам и нужно.

• (1+19) - 20 = 0 рублей - мы идеально вложились в нужную цифру, без остатков и недостатков.

В итоге мы пришли к тому же результату, что и в первом варианте решения: 1 набор за 37 рублей, 2 набора по 13 рублей и 3 набора по 19 рублей.

Заключение.

Мы понимаем, что эта смесь далеко не единственная. Всё, что нужно для составления такой смеси - выполнение найденного нами соотношения x : у : z = 1 : 3 : 2, где х - кол-во наборов за 37р; у - за 19 рублей; z - за 13 рублей.  

Таким образом в смеси может быть 3 набора за 37 рублей, 9 наборов за 19 рублей, 6 наборов за 13 рублей; либо же 4 набора за 37 рублей, 12 наборов за 19 рублей, 8 наборов за 13 рублей и так далее.