Question

В ромбе ABCD
AC больше BD и АС/BD - BD/AC = 2√3
Найдите угол A

Answer 1

Ответ:

$\frac{\pi }{6}$

Объяснение:

Информация, что диагональ ромба $AC > BD$ говорит о том, что $\angle A$ — острый.

Пусть $\angle A = 2\alpha .$ Так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов, $\angle BAC = \angle CAD = \alpha .$

Из метрических соотношений в прямоугольном треугольнике

${\mathop{\rm ctg}\nolimits} \alpha = \displaystyle\frac{{AO}}{{BO}} = \displaystyle\frac{{2AO}}{{2BO}} = \displaystyle\frac{{AC}}{{BD}},$

и наоборот,

$\displaystyle\frac{1}{{{\mathop{\rm ctg}\nolimits} \alpha }} = {\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha = \displaystyle\frac{{BD}}{{AC}}.$

Тогда по условию, а затем с применением формул синуса и косинуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$  и $\cos 2\alpha = {\cos ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha$:

${\mathop{\rm ctg}\nolimits} \alpha - {\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha = 2\sqrt 3 ;$

$\displaystyle\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} - \displaystyle\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = 2\sqrt 3 ;$

$\displaystyle\frac{{{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha }}{{\sin \alpha \cos \alpha }} = 2\sqrt 3 ;$

$\displaystyle\frac{{\cos 2\alpha }}{{\sin 2\alpha }} = \sqrt 3 ;$

${\mathop{\rm ctg}\nolimits} 2\alpha = \sqrt 3 ;$

$2\alpha = \displaystyle\frac{\pi }{6}.$