Question

t 17. Найдите количество членов арифметической прогрессии а1; ази, если a2; az; a3 + a6 + ag + + azn 828 и an+3 + a2n og 36. -​

Answer 1

Ответ: Количество членов у данной арифметической прогрессии равно 69

Пошаговое объяснение:

Найдите количество членов арифметической прогрессии

$a_1 ~;~ a_2 ~; ~a_3 ~; ~ \ldots ~;~ a_{3n}$ , если

$a_3 + a_6 + a_9 +\ldots + a_{3n} = 328$

и  $a_{n+3} + a_{2n } = 36$

Воспользуемся формулой для  нахождения   n-го члена арифметической прогрессии:

$\boldsymbol{\sf a_n = a _1 + (n-1)d }$

Распишем :

$a_{n+3} + a_{2n} = a_1 + (n+3-1)d + a_1 + (2n-1)d = 36 \\\\ a_{n+3} + a_{2n} = 2a_1 + nd + 2d +2nd -d = 36 \\\\ \boxed{ a_{n+3} + a_{2n} =2a_1 + 3nd +d =36}$

                                                       

Разность у новой прогрессии

$a_3 + a_6 + a_9 +\ldots + a_{3n} = 328$

равна  $a_9 - a_6 = 3d$

Теперь воспользуемся формулой для нахождения суммы первых

n-x членов арифметической прогрессии  :

$\boldsymbol{\sf S = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n }$

В нашем случае

$\sf a_1 = a_3$

И т.к  у каждого члена прогрессии индекс кратен  3 ,  то кол-во членов будет также равно 3n :  3 =  n

$S_{3n} = \dfrac{a_3 +a_{3n}}{2}\cdot n = 828 \\\\\\ \dfrac{a_1 + 2d + a_1 + (3n-1)d}{2}\cdot n = 828 \\\\\\ \dfrac{2a_1 + 3nd +d}{2} \cdot n = 828 \\\\ \underbrace{(2a_1 + 3nd + d)}_{36}\cdot n = 828 \\\\ 36n = 828 \\\\ n =23$
                                                             

И , наконец , найдем  количество членов арифметической прогрессии :

$a_1 ~;~ a_2 ~; ~a_3 ~; ~ \ldots ~;~ a_{3n}$  

Это обычная прогрессия

$a_1 ~;~ a_2 ~; ~a_3 ~; ~ \ldots ~;~ a_{n}$

Вот только кол-во ее членов в  три раза больше  n

Т.е кол-во членов у прогрессии $a_1 ~;~ a_2 ~; ~a_3 ~; ~ \ldots ~;~ a_{3n}$

равно  3n = 23·3 = 69

#SPJ1