Question

Задумано двузначное число меньшее 70. Также известно, что оно на 26 больше произведения своих цифр. Какое число задумано? Решите, пожалуйста, буду благодарен)

Answer 1

Ответ:

Задумано число 32 или 56.

Пошаговое объяснение:

Пусть задумано число $\overline {ab} < 70.$ Тогда по условию

$\overline {ab} - a \cdot b = 26;$

$10a + b - ab = 26;$

$a(10 - b) = 26 - b;$

$a = \displaystyle\frac{{26 - b}}{{10 - b}} = \displaystyle\frac{{10 - b + 16}}{{10 - b}} = 1 + \displaystyle\frac{{16}}{{10 - b}}.$

Так как по условию задачи число меньше 70, то его первая цифра меньше 7, значит

$1 + \displaystyle\frac{{16}}{{10 - b}} < 7;$

$\displaystyle\frac{{16}}{{10 - b}} < 6.$

Поскольку $b$ цифра, $10 - b > 0$ и на это выражение можно умножить обе части неравенства.

$16 < 6(10 - b);$

$10 - b > \displaystyle\frac{{16}}{6} = \displaystyle\frac{8}{3};$

$b < 10 - \displaystyle\frac{8}{3} = \displaystyle\frac{{22}}{3} = 7\displaystyle\frac{1}{3}.$

То есть «кандидаты» в $b$ должны, с одной стороны, быть из диапазона от 1 до 7, а с другой число $\displaystyle\frac{{16}}{{10 - b}}$ должно быть целым. Перебором убеждаемся, что подходят $b = 2$ или $b=6.$ Тогда

$a = 3$ или $a = 5$ соответственно.

Искомые числа — 32 или 56.