В треугольнике ABC точка О - центр вписанной в треугольник окружности. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке Н, прямая АО пересекает сторону ВС в точке М. уголВНС=углуАМС=90°.
1) Докажите, что треугольник АВС равносторонний
2) Найдите HM, если ОМ=5
Спасибо!
Ответы
Ответ:
1)Доказано!
2) HM=5√3
Пошаговое объяснение:
1) Доказательство:
Центр вписанной окружности в треугольник лежит на пересечении биссектрис и если эти биссектрисы ещё и перпендикулярны сторонам , к котором проведены , тогда , ΔАВС-равнобедренный , и высоты ещё являются медианами.Если АМ-биссектриса и высота , то АС=АВ ; если ВН-биссектриса и высота , то ВС=АВ→АВ=ВС=АС→ΔАВС-равносторонний. Что и требовалось доказать!
2) (см.чертёж)
Проведём высоту - СК . НМ-средняя линия треугольника АВС , средняя линия треугольника равна половине основания, НМ=1/2АВ , но если АМ и СК ещё и медианы , то ВК=ВМ=НМ, В раностороннем треугольнике каждый угол равен 60° , а если ВН-биссектриса , она делит углы пополам(свойство биссектрисы) ⇒ ∠СВН=∠НВА=60°:2=30°,рассм.ΔОВМ , ΔОВМ-прямоугольный , т.к ОМ-высота (при АМ⊥ВС), ОМ=5(по условию) , она лежит против угла в 30°(∠СВН) , а в прямоугольном треугольнике : катет лежащий против угла в 30° , равен половине гипотенузы, тогда ВО=2ОМ=2·5=10 , найдём ещё ВМ по т.Пифагора , она гласит , что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадрата его катетов.
Следовательно , ВМ=НМ=5√3
