Question

Пожалуйста, помогите решить интеграл:

Answer 1

Ответ:

$-2\ln{\dfrac{2}{3}}-\dfrac{1}{3}$

Пошаговое объяснение:

Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Пусть $t=tg\dfrac{x}{2}$. Тогда $\sin{x}=\dfrac{2t}{1+t^2},\cos{x}=\dfrac{1-t^2}{1+t^2},dx=\dfrac{2dt}{1+t^2}$. Пересчитаем пределы интегрирования: $t_1=tg\dfrac{0}{2}=0$, $t_2=tg\dfrac{2arctg\frac{1}{3}}{2}=\dfrac{1}{3}$. Получаем:

$\displaystyle\int\limits^{2arctg\frac{1}{3}}_0 {\dfrac{\cos{x}dx}{(1+\cos{x})(1-\sin{x})}}=\int\limits^{\frac{1}{3}}_0 {\dfrac{\frac{1-t^2}{1+t^2}\cdot\frac{2dt}{1+t^2}}{(1+\frac{1-t^2}{1+t^2})(1-\frac{2t}{1+t^2})}}=\int\limits^{\frac{1}{3}}_0 {\dfrac{1+t}{1-t}} \, dt=\\ \int\limits^{\frac{1}{3}}_0 {\left(\dfrac{2}{1-t}-1\right)} \, dt =\left(-2\ln{|1-t|-t}\right)|\begin{array}{c}\frac{1}{3}\\0\end{array} =-2\ln{\dfrac{2}{3}}-\dfrac{1}{3}$