Question

Помогите пожалуйста, осталось 2,5 часа.

Докажите, что в выражении 2024^2 ∗ 2023^2 ∗ 2022^2 ∗ . . . ∗ 2^2 ∗ 1^2 знак «∗» можно заменить знаками «+» и «−» так, чтобы полученное выражение равнялось 2024.

Answer 1

$2024^2 * 2023^2 * 2022^2 * \ldots * 2^2 * 1^2$

Поскольку в выражении используются квадраты, то, возможно, удобно будет применить формулу разности квадратов:

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

Возьмем первые четыре слагаемых и попробуем поработать с ними:

$2024^2-2023^2=(2024-2023)\cdot(2024+2023)=$

$=1\cdot(2024+2023)=2024+2023$

$2022^2-2021^2=(2022-2021)\cdot(2022+2021)=$

$=1\cdot(2022+2021)=2022+2021$

Заметим, что каждое слагаемое первого выражения на 2 больше соответствующего слагаемого второго выражения. Если мы составим разность между первым выражением и вторым, то получим следующее:

$(2024^2-2023^2)-(2022^2-2021^2)=(2024+2023)-(2022+2021)=$

$=(2024-2022)+(2023-2021)=2+2=4$

Таким образом, первую четверку слагаемых нам удалось преобразовать к числу 4.

При этом расстановка знаков выглядит следующим образом:

$(2024^2-2023^2)-(2022^2-2021^2)=2024^2-2023^2-2022^2+2021^2$

В общем виде, для любых квадратов четырех последовательных натуральных чисел с аналогичной расстановкой знаков мы будем получать число 4:

$(a+3)^2-(a+2)^2-(a+1)^2+a^2=$

$=(a^2+6a+9)-(a^2+4a+4)-(a^2+2a+1)+a^2=$

$=a^2+6a+9-a^2-4a-4-a^2-2a-1+a^2=4$

Учитывая, что число имеющихся квадратов в выражении 2024, и это число делится на 4, нам удастся разбить эти числа на подобные четверки. Четыре числа в каждой четверке дают 4, значит все 2024 числа в результате дадут 2024.

Расстановка знаков, начиная со знака перед числом $2023^2$: "минус", "минус", "плюс", "плюс", "минус", "минус", "плюс", "плюс" и так далее