Question

Помогите пожалуйста! Прошу!

Answer 1

Ответ:

$1)\, x \in \left[ {\displaystyle\frac{1}{2};\,\,2} \right) \cup (5;\,\, + \infty );$

$2)\,x \in [2;\,\,3];$

$3)\, x\in(-3;+\infty);$

$4)\, x\in(2;+\infty).$

Объяснение:

Решение неравенств и объединение промежутков в примерах 1–2 — см. рис.

1)

$\displaystyle\frac{{\sqrt {2x - 1} }}{{x - 2}} < 1;$

ОДЗ: $\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \ge 0,\\x \ne 2;\end{array} \right. \left\{ \begin{array}{l}x \ge \displaystyle\frac{1}{2},\\x \ne 2.\end{array} \right.$

При $x \in \left[ {\displaystyle\frac{1}{2};\,\,2} \right)$ левая сторона отрицательна, поэтому неравенство очевидно выполняется.

При $x > 2$ возведем обе части в квадрат:

$\displaystyle\frac{{2x - 1}}{{{{(x - 2)}^2}}} < 1.$

Так как знаменатель дроби при указанных значениях $x$ положительный, умножим на него обе части неравенства:

$2x - 1 < {x^2} - 4x + 4;$

${x^2} - 6x + 5 > 0;$

$(x - 1)(x - 5) > 0;$

$x \in ( - \infty ;\,\,1) \cup (5;\,\, + \infty ).$

Так как $x > 2,$ то $x \in (5;\,\, + \infty ).$

Собирая обе части ответа, получаем

$x \in \left[ {\displaystyle\frac{1}{2};\,\,2} \right) \cup (5;\,\, + \infty ).$

2)

Решение неравенств вида $\sqrt {f(x)} < g(x)$ равносильно системе

$\left\{ \begin{array}{l}f(x) \ge 0,\\g(x) > 0,\\f(x) < {g^2}(x),\end{array} \right.$

то есть

$\left\{ \begin{array}{l}(x - 3)(2 - x) \ge 0,\\3 + 2x > 0,\\(x - 3)(2 - x) < {(3 + 2x)^2};\end{array} \right.$

Решение первого неравенства — $x \in [2;\,\,3],$ второго — $x > - 1,5.$

Решим третье неравенство системы:

$2x - 6 - {x^2} + 3x < 9 + 12x + 4{x^2};$

$5{x^2} + 7x + 15 > 0.$

Последний квадратный трехчлен не имеет корней, а его старший коэффициент равен 5, что больше 0, поэтому $5{x^2} + 7x + 15 > 0$ при всех значениях $x.$

Значит $x \in [2;\,\,3].$

3)

${\left( {\displaystyle\frac{\pi }{4}} \right)^x} < {\left( {\displaystyle\frac{4}{\pi }} \right)^3};$

${\left( {\displaystyle\frac{\pi }{4}} \right)^x} < {\left( {\displaystyle\frac{\pi }{4}} \right)^{ - 3}}.$

Так как функция ${a^x}$ при $0 < a < 1$ убывает, а $0 < \displaystyle\frac{\pi }{4} < 1,$ то $x > - 3.$

4)

${\left( {\displaystyle\frac{1}{3}} \right)^{2x - 3,5}} < \displaystyle\frac{1}{{\sqrt 3 }};$

${\left( {\displaystyle\frac{1}{3}} \right)^{2x - 3,5}} < {\left( {\displaystyle\frac{1}{3}} \right)^{0,5}}.$

Так как функция ${a^x}$ при $0 < a < 1$ убывает, а $0 < \displaystyle\frac{1}{3} < 1,$ то

$2x - 3,5 > 0,5;$

$2x > 4;$

$x > 2.$