Question

Какое наибольшее количество натуральных делителей имеет число āāā ?​

Answer 1

Ответ:

16

Пошаговое объяснение:

$\overline {aaa} = 100a + 10a + a = 111a = 3 \cdot 37 \cdot a.$

В зависимости от значения a данное число может иметь два $(a = 1,\,\,3,\,\,9)$ или три $(a = 2,\,\,4,\,\,5,\,\,6,\,\,7,\,\,8)$ простых делителя и далее увеличение количества делителей числа зависит от степени вхождения каждого делителя.

Поэтому среди чисел с двумя делителями наибольшее количество делителей дает цифра 9:

$3 \cdot 37 \cdot 9 = {3^3} \cdot {37^1}.$

Так как каждый из сомножителей может входить в делитель в любой из степеней, в т. ч. нулевой, количество вариантов для тройки 4, а для тридцати семи — 2, общее количество делителей по правилу произведения $4 \cdot 2 = 8.$

Среди чисел с тремя делителями наибольшее количество делителей дает цифра 8:

$3 \cdot 37 \cdot 8 = {2^3} \cdot {3^1} \cdot {37^1}.$

Аналогично предыдущему случаю, количество делителей равно $4 \cdot 2 \cdot 2 = 16.$