Question

Найдите такой параметр р при котором х будет иметь лишь одно реальное решение:

(2р+2/х+р) + (х-р/х+1) = 1

Варианты ответа:
А) р€R
B)p€R{-1}
C)p€R{-1;1}
D) p=+-1
F) другое

Answer 1

Ответ:

C) $p\in{\rm R}\char`\\\{-1;1\}$

Пошаговое объяснение:

$\[\displaystyle\frac{{2p + 2}}{{x + p}} + \displaystyle\frac{{x - p}}{{x + 1}} = 1\]$

Перенесем единицу в левую сторону и приведем к общему знаменателю:

$\displaystyle\frac{{(2p + 2)(x + 1) + (x - p)(x + p) - (x + p)(x + 1)}}{{(x + p)(x + 1)}} = 0;$

$\displaystyle\frac{{2px + 2p + 2x + 2 + {x^2} - {p^2} - {x^2} - x - px - p}}{{(x + p)(x + 1)}} = 0;$

$\displaystyle\frac{{(p + 1)x - ({p^2} - p - 2)}}{{(x + p)(x + 1)}} = 0.$

Любой квадратный трехчлен $\[a{x^2} + bx + c\],$ имеющий корни $\[{x_1}\]$ и $\[{x_2},\]$ можно разложить на множители: $\[a{x^2} + bx + c = a(x - {x_1})(x - {x_2}).\]$

Воспользуемся этим, чтобы разложить на множители $\[{p^2} - p - 2.\]$

По теореме Виета

$\[\left\{ \begin{array}{l}{p_1} + {p_2} = 1,\\{p_1}{p_2} = - 2,\end{array} \right.\]$

откуда нетрудно подобрать $\[{p_1} = - 1,\ {p_2} = 2.\]$

Значит

$\[{p^2} - p - 2 = (p + 1)(p - 2)\]$

и уравнение приобретает вид

$\displaystyle\frac{{(p + 1)x - (p + 1)(p - 2)}}{{(x + p)(x + 1)}} = 0;\\\\\displaystyle\frac{{(p + 1)(x - p + 2)}}{{(x + p)(x + 1)}} = 0.$

Получили дробь, значение которой должно быть равно нулю. Это происходит когда числитель равен нулю, а знаменатель — не равен:

$\[\left\{ \begin{array}{l}(p + 1)(x - p + 2) = 0,\\(x + p)(x + 1) \ne 0.\end{array} \right.\]$

В свою очередь,

$\[(p + 1)(x - p + 2) = 0\],$

когда либо $\[p + 1 = 0,\]$ либо $\[x - p + 2 = 0.\]$

Разберем оба эти случая отдельно.

Пусть $\[p + 1 = 0,\]$ т. е. $\[p = - 1.\]$ Тогда уравнение превращается в тождество $\[0 = 0,\]$ которое выполняется при всех $\[x,\]$ кроме тех, что превращают знаменатель в ноль. Этот случай не соответствует условию задачи.

Значит $\[p \ne - 1\],$ тогда $\[x - p + 2 = 0,\]$ т. е. $\[x = p - 2.\]$

$\[x = p - 2\]$ будет единственным корнем данного уравнения только в том случае, если знаменатель при этом значении $\[x\]$ не будет превращаться в ноль.

Значит

$(p - 2 + p)(p - 2 + 1) \ne 0;\\\\(2p - 2)(p - 1) \ne 0;\\\\2{(p - 1)^2} \ne 0;\\\\p \ne 1.$

В итоге получаем ответ: данное уравнение будет иметь единственное решение только в том случае, когда $\[p \ne \pm 1.\]$

#SPJ1