Question

Квадратные неравенства, вопрос о тактике решения (без формулы)

Возьмём простое неравенство которое можно спокойно решить с помощью factoring (извиняюсь, не знаю как по-русски этот метод называется. Думаю, вы поймёте).


x²-14>0

Через факторинг оно будет решаться так:

(x-4)(x+3)>0

x=4, x=-3


В чём суть вопроса. Как мне поставить 4 и 3 в правильном порядке? Ведь если я напишу (x-3)(x+4), то ответом уже будет x=-4, x=3, что имеет совершенно иную картину на графике.


Я понимаю что это проверяется очень легко с помощью преобращения обратно, то есть если б это было (x-3)(x+4), то изначальной формой стало бы уравнение x²+x-12, что уже является совершенно другим уравнением.


Но вопрос, можно ли это сделать сразу верно? Есть ли какая-то тактика, чтоб не терять время на перепроверку, а сразу в правильном порядке находить значения икса, используя данный метод?

Answer 1

Ответ:

Если надо решить неравенство  х²-14>0 , то левую часть можно разложить (factoring) на множители с помощью формулы разности квадратов:

 х²-14=(х-√14)(х+√14) .

Тогда неравенство будет иметь вид  (х-√14)(х+√14)>0 .

Нулями функции  f(x)=(х-√14)(х+√14)  будут числа  х=√14  и  х= -√14 , так как при этих значениях переменной  х  функция  f(x)=0 .

Чтобы числа расставить правильно на числовой оси , надо вспомнить, что отрицательные числа меньше, чем положительные, значит на числовой оси отрицательное число находится левее, чем положительное .

_________ (-√14) __________ (√14) ___________

Теперь применяем метод интервалов решения неравенств. Расставляем знаки на полученных интервалах . На этих интервалах функция сохраняет знаки .

Начинаем с правого интервала . Выбираем точку, принадлежащую интервалу (√14;+∞) , например х=100 . Подставляем это число в функцию , получим  (100-√14)(100+√14)>0 (ясно, что 100>√ 14 , поэтому 1 и 2 скобки будут положительны , значит всё произведение будет положительным) . Ставим на промежутке знак +  .

Аналогично, выбираем  х=0 ∈ (-√14;√14) . Вычисляем знак функции:

(0-√14)(0+√14)= -√14*√14<0 . Ставим знак минус .

х= -100 ∈ (-∞; -√14)  ,   (-100-√14)(-100+√14)>0 (отрицательное число  умножаем на отрицательное, получим положительное число) . Ставим знак плюс .

+ + + + + (-√14) - - - - - (√14) + + + + +

Так как неравенство задано со знаком больше (>) , то в ответ выбираем промежутки, где записан знак плюс .

Ответ:  х ∈ (-∞; -√14) ∪ (√14;+∞)  .

     

2.     Если задано неравенство   (x-4)(x+3)>0 , то сначала определяем нули функции , приравняв каждую скобку 0 .

x-4=0  ⇒   x=4

x+3=0  ⇒  x= -3

Число  -3 < 4 , поэтому лежит левее на числовой оси, чем 4 .

_______ (-3) ______ (4) ________

Знаки считаем на интервалах аналогично.

х=100 :   (100-4)(100+3)>0

x=0 :    (0-4)(0+3)<0

x= -20 :    (-20-4)(-20+3)>0

Знаки:   + + + + +  (-3) - - - - - (4) + + + + +

Ответ:  х ∈ (-∞;-3) ∪ (4;+∞) .  

3.  (х-3)(х+4)>0

Нули функции:  х=3 , х= -4 ,  -4 < 3  .

Знаки;   + + + + + (-4) - - - - - (3) + + + + +

Ответ:   х ∈ (-∞;-4) ∪ (3;+∞) .