Question

задание 7
Пусть $x=\dfrac{7}{51}$
Известно, что для некоторого натурального k число x
записывается в k-ичной системе счисления как $0,232323..._k$
Найдите k

Answer 1

Ответ:

16

Объяснение:

Сдвинем запятую в числе x на две позиции вправо. Для этого число необходимо умножить на k². Тогда $xk^2=23{,}2323\ldots_k$. Если вычесть из него x, дробная часть сократится, и останется $xk^2-x=23_k=2k+3$

Подставляя $x=\dfrac{7}{51}$, получаем уравнение:

$\dfrac{7}{51}k^2-2k-\dfrac{7}{51}-3=0\\7k^2-102k-160=0$

Решая это квадратное уравнение, получаем корни $k=16;-\dfrac{10}{7}$. Второе значение k не может быть основанием системы счисления. k = 16 удовлетворяет смыслу задачи (все цифры числа x меньше 16). Оно и будет ответом.