Заполните пропуски так, чтобы получилось верное решение.
Условие. В однокруговом футбольном турнире участвовало 15 команд. После завершения турнира оказалось, что некоторые 6 команд набрали хотя бы N очков каждая. Какое наибольшее целое значение может принимать N?
Решение. Назовём эти 6 команд успешными, а остальные 9 команд назовём неуспешными. Назовём игру двух успешных команд внутренней, а игру успешной и неуспешной команды — внешней.
За каждую игру участвующие в ней команды суммарно получают не более 3 очков. Так как внутренних игр было ровно
, то только за такие игры все успешные команды суммарно заработали не более
3 ⋅
=
очков. Внешних игр было ровно
, и в каждой такой игре успешная команда зарабатывала не более 3 очков. Итого за внешние игры все успешные команды суммарно набрали не более
3 ⋅
=
очков. По условию успешные команды суммарно набрали хотя бы 6N очков, поэтому получаем неравенство 6N⩽
. Учитывая, что N является целым числом, из этого неравенства следует, что N⩽
.
Докажем, что эта оценка точная. Для этого приведём пример для N=
. Пронумеруем команды числами от 1 до 15. Покажем, как команды от 1 до 6 могут набрать нужное число очков.
Пусть каждая команда от 1 до 6 выиграла у каждой команды от 7 до 15, тогда только за такие игры каждая команда от 1 до 6 набрала
очков.
Пусть команды от 1 до 6 играли между собой так, как указано в таблице.
1 2 3 4 5 6
1 3 3 1 0 0
2 0 3 3 1 0
3 0 0 3 3 1
4 1 0 0 3 3
5 3 1 0 0 3
6 3 3 1 0 0
Пусть в каждой игре команд от 7 до 15 выиграла команда с большим номером (исход этих игр не имеет значения).
Итого в таком турнире каждая из команд от 1 до 6 набрала ровно
очка.
Ответы
Назовём эти 6 команд успешными, а остальные 9 команд назовём неуспешными. Назовём игру двух успешных команд внутренней, а игру успешной и неуспешной команды — внешней.
За каждую игру участвующие в ней команды суммарно получают не более 3 очков. Так как внутренних игр было ровно
15
, то только за такие игры все успешные команды суммарно заработали не более
3 ⋅
15
=
45
очков. Внешних игр было ровно
54
, и в каждой такой игре успешная команда зарабатывала не более 3 очков. Итого за внешние игры все успешные команды суммарно набрали не более
3 ⋅
54
=
162
очков. По условию успешные команды суммарно набрали хотя бы 6N очков, поэтому получаем неравенство 6N⩽
207
. Учитывая, что N является целым числом, из этого неравенства следует, что N⩽
34
.
Докажем, что эта оценка точная. Для этого приведём пример для N=
34
. Пронумеруем команды числами от 1 до 15. Покажем, как команды от 1 до 6 могут набрать нужное число очков.
Пусть каждая команда от 1 до 6 выиграла у каждой команды от 7 до 15, тогда только за такие игры каждая команда от 1 до 6 набрала
27
очков.
Пусть команды от 1 до 6 играли между собой так, как указано в таблице.
1 2 3 4 5 6
1 3 3 1 0 0
2 0 3 3 1 0
3 0 0 3 3 1
4 1 0 0 3 3
5 3 1 0 0 3
6 3 3 1 0 0
Пусть в каждой игре команд от 7 до 15 выиграла команда с большим номером (исход этих игр не имеет значения).
Итого в таком турнире каждая из команд от 1 до 6 набрала ровно
34
очка.