Question

Найдите $\lim_{n \to \infty} \dfrac{A_n}{D_n} ,$ где
$\left(\begin{array}{ccc}19&-48\\8&-21\end{array}\right)^n= \left(\begin{array}{ccc}A_n&B_n\\C_n&D_n\end{array}\right)$

Answer 1

Ответ:

$-\dfrac{2}{3}$

Объяснение:

Исходную матрицу можно разложить в виде $A=UDU^{-1}$, где $U=\left(\begin{array}{cc}x_1&x_2\\y_1&y_2\end{array}\right)$ — матрица, составленная из собственных векторов $\left(\begin{array}{c}x_1\\y_1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}x_2\\y_2\end{array}\right)$, $D=\left(\begin{array}{cc}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{array}\right)$, где $\lambda_1,\lambda_2$ — собственные числа, соответствующие своему вектору.

Найдём собственные числа матрицы. По определению собственного вектора:

$\left(\begin{array}{cc}19&-48\\8&-21\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)=\lambda\cdot \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)\\\left(\begin{array}{c}19x-48y\\8x-21y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\lambda x\\\lambda y\end{array}\right)\\\displaystyle \left \{ {{19x-48y=\lambda x,} \atop {8x-21y=\lambda y}} \right.\\\left \{ {{(19-\lambda)x-48y=0,} \atop {8x-(21+\lambda)y=0}} \right.$

Собственные векторы не должны быть нулевыми, значит, помимо тривиального решения существуют другие решения, то есть определитель основной матрицы системы равен нулю (так как ранг в таком случае должен быть меньше 2):

$\left|\begin{array}{cc}19-\lambda&-48\\8&-21-\lambda\end{array}\right|=-(19-\lambda)(21+\lambda)+8\cdot 48=\lambda^2+2\lambda-15=0\\\lambda_1=-5,\lambda_2=3$

Найдём собственные векторы матрицы.

Для $\lambda_1=-5$:

$\displaystyle \left \{ {{24x-48y=0,} \atop {8x-16y=0}} \right. \Rightarrow x=2y$

Из множества векторов выберем вектор $\left(\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right)$.

Для $\lambda_1=3$:

$\displaystyle \left \{ {{16x-48y=0,} \atop {8x-24y=0}} \right. \Rightarrow x=3y$

Из множества векторов выберем вектор $\left(\begin{array}{c}3\\1\end{array}\right)$.

Тогда матрица $U=\left(\begin{array}{cc}2&3\\1&1\end{array}\right)$, обратная ей $U^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-1&3\\1&-2\end{array}\right)$, матрица $D=\left(\begin{array}{cc}-5&0\\0&3\end{array}\right)$.

Заметим, что $A^n=(UDU^{-1})^n=UDU^{-1}\cdot UDU^{-1}\cdot\ldots\cdot UDU^{-1}=UD(U^{-1}U)D(U^{-1}U)\ldots\\\ldots(U^{-1}U)DU^{-1}=UDD\ldots DU^{-1}=UD^nU^{-1}$

$A^n=\left(\begin{array}{cc}2&3\\1&1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}(-5)^n&0\\0&3^n\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc}-1&3\\1&-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2\cdot (-5)^n&3\cdot 3^n\\(-5)^n&3^n\end{array}\right)\cdot\\\cdot\left(\begin{array}{cc}-1&3\\1&-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2\cdot (-5)^n+3\cdot 3^n&6\cdot(-5)^n-6\cdot 3^n\\-(-5)^n+3^n&3\cdot(-5)^n-2\cdot3^n\end{array}\right)$

Найдём предел:

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{A_n}{D_n}= \lim_{n \to \infty} \dfrac{-2\cdot (-5)^n+3\cdot 3^n}{3\cdot(-5)^n-2\cdot3^n}= \lim_{n \to \infty} \dfrac{-2+3\cdot \left(-\dfrac{3}{5}\right)^n}{3-2\cdot\left(-\dfrac{3}{5}\right)^n}=-\dfrac{2}{3}$