14. На ребрах АВ и СО треугольной пирамиды ЛБСО отмечены точки М и N cooтветственно, причем АМ : МБ = СМ : МБ = 3 : 1. Точки Р и ф - середины ребер Б.А а ОС соответственно. Плоскость P^M делит пирамиду на две части. Какую часть от общего объема пирамиды составляет объем большей (по объему) части?
Ответы
На ребрах AB и CB треугольной пирамиды DABC отмечены точки М и N, AM:MB=CN:NB=3:1. P и Q - середины ребер DA и DC. В каком отношении плоскость PQM делит пирамиду?
PQ||AC, MN||AC (по т о пропорциональных отрезках) => PQ||MN
Через две параллельные проходит плоскость PQMN
Рассмотрим пирамиду с основанием AMNC и вершиной P.
△MBN~△ABC, k=MB/AB=1/4
S(MBN)/S(ABC) =k^2 =1/16 => S(AMNC)/S(ABC) =15/16
Высоты из P и D на (ABC) относятся 1:2
V(PAMNC)/V(DABC) =15/16 *1/2 =15/32
Рассмотрим пирамиду с основанием QNC и вершиной P.
S(QNC)/S(DBC) =CQ*CN/CD*CB =CQ/CD *CN/CB =1/2 *3/4 =3/8
Высоты из P и A на (DBC) относятся 1:2
V(PQNC)/V(ADBC) =3/8 *1/2 =3/16
V(PAMNC)+V(PQNC) =(15/32 +3/16) V(DABC) =21/32 V(DABC)
Плоскость PQM делит пирамиду DABC в отношении 11:21.
Большая часть 21/32 от объема DABC.
