Question

Точка J належить трикутнику ABC і ∠BJC = 90° + $\frac{1}{2}$∠BAC. Відомо, що пряма AJ містить центр описаного кола трикутника BJC. Доведіть, що точка J — центр вписаного кола трикутника ABC.

Answer 1

I - центр вписанной окружности

Q - центр вневписанной окружности (пересечение внутренней и двух внешних биссектрис)

Биссектрисы внутренних и внешних углов треугольника перпендикулярны и образуют вписанный четырехугольник BICQ.

IQ - диаметр описанной окружности △BIC => центр окружности лежит на биссектрисе угла A

∠BIC =90° +∠A/2 => точка J на дуге BIC

△BIC и △BJC имеют общую описанную окружность, ее центр на биссектрисе угла A => точка J на биссектрисе угла A

Дуга BIC и биссектриса угла A пересекаются в точке I  => точки I и J совпадают.