Question

Даю 25 баллов!!!
В основании пирамиды SABCD лежит квадрат со стороной 16. Ребро SA перпендикулярна к основанию пирамиды. Радиус описанной около пирамиды окружности равен 12. Найдите радиус окружности, вписанную в данную пирамиду.

Answer 1

Формула радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник (r):

r=ab/(a+b+c)=(a+b-c)/2

Центр вписанной сферы находится на пересечении плоскостей, проходящих через биссектрисы двугранных углов.

Для данной пирамиды радиус сферы совпадает с радиусом вписанной окружности в прямоугольный треугольник с катетами, равными высоте пирамиды и стороне основания.

Находим гипотенузу такого треугольника.

Для данной пирамиды она равна ребру SD.

Сначала находим высоту Н пирамиды из заданного радиуса описанной сферы R = 12.

Н = √((2*12)² - (16*√2)²) = √(576 – 512) = 64 = 8.

Теперь находим SD = √(8² + 16²) = √(64 + 256) = √320 = 8√5.

Отсюда получаем ответ.

Pадиус вписанной сферы равен r = (8 + 16 - 8√5)/2 = 12 - 4√5 ≈ 3,05573.