Question

ПОМОГИТЕ! Объясните, пожалуйста, каков принцип решения таких задач.
Функція f є парною. Чи може виконуватися рівність:

1) $f(2)-f(-2)=1$

2) $f(5)*f(-5)=-2$

3) $\frac{f(1)}{f(-1)}=0$

Відповідь обґрунтуйте.

Answer 1

Функция $f$ называется парной, если:

$f(x)=f(-x)\;\;,\;\;x\in D(f)$

Учитывая это попробуем узнать, могут ли выполняться равенства:

$1)~f(2)-f(-2)=1$

Поскольку по условию функция $f$ парная, то:

$f(2)=f(-2)$

Любое число минус это же число = 0. Значит равенство $f(2)-f(-2)=1$  выполняться не может. Можно это доказать. Пусть $f(2)=f(-2)=x$, тогда:

$x-x=1\;\;\Rightarrow\;\;0=1$ - не верно. Следовательно, уравнение не имеет корней и $f(2)-f(-2)$ не может быть равно единице.

$2)~f(5)\cdot f(-5)=-2$

Поскольку по условию функция $f$ парная, то:

$f(5)=f(-5)$

При умножении двух равных чисел не может получиться отрицательное число. Потому что при умножении положительных чисел получается положительное число, и при умножении отрицательных чисел также получается положительное число. То есть:

$(+)\cdot(+)=(+)\\\\(-)\cdot(-)=(+)$

Значит равенство $f(5)\cdot f(-5)=-2$ выполняться не может (поскольку -2 -- отрицательное число). Это можно доказать. Пусть $f(5)=f(-5)=x$, тогда $x\cdot x=-2\;\;\Rightarrow\;\;x^2=-2\;\;\Rightarrow\;\;x=\pm\sqrt{-2}$ корня квадратного из отрицательного числа не существует. Следовательно уравнение не имеет решений и $f(5)\cdot f(-5)$ не может быть равно -2.

$3)\dfrac{f(1)}{f(-1)}=0$

Поскольку по условию функция $f$ парная, то:

$f(1)=f(-1)$

При делении равных чисел результат всегда равен 1. Значит равенство $3)\dfrac{f(1)}{f(-1)}=0$ выполняться не может. Доказательство:

Пусть $f(1)=f(-1)=x$, тогда $\dfrac{x}{x}=0\;\;,\;\;x\ne0$. Домножим обе части уравнения на x, тогда $x=0$, что не удовлетворяет ОДЗ. Значит уравнение не имеет корней и $\dfrac{f(1)}{f(-1)}$ не может быть равно 0.