Question

2³ (1 + (1-x) + (1-x)² + (1-x)³ + ...) = = 17x/4-1
(1 < x < 2)
решите уравнение геометрическая прогрессия ​

Answer 1

Решение.

 Если  $\bf 1 < x < 2$  , то  $\bf -2 < -x < -1\ ,\ \ -1 < (1-x) < 0$  , тогда в скобках записана бесконечно убывающая геометрическая

прогрессия со знаменателем  $\bf q=(1-x)\ ,$  где  $\bf |\, q\, | < 1$  , сумму которой можно найти по формуле   $\bf S=\dfrac{b_1}{1-q}$  .

$\bf 2^3\cdot (\underbrace{1+(1-x)+(1-x)^2+...}_{b_1=1,\ q=1-x})=\dfrac{17x}{4}-1\ \ ,\ \ \ x\in (\, 1\, ;\, 2\, )\\\\\\2^3\cdot \dfrac{1}{1-(1-x)}=\dfrac{17x}{4}-1\\\\\\\dfrac{8}{x}=\dfrac{17x-4}{4}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ 8\cdot 4=x\cdot (17x-4)\ \ ,\\\\\\17x^2-4x-32=0\ \ ,\ \ \ D=b^2-4ac=4^2+4\cdot 17\cdot 32=2192\ ,\\\\\\x_1=\dfrac{4-4\sqrt{137}}{2\cdot 17}=\dfrac{2-2\sqrt{137}}{17}\approx -1,26\notin (\, 1;2\, )\ \ ,\\\\\\x_2=\dfrac{2+2\sqrt{137}}{17}\approx 1,49\in (\, 1;2\, )$  

Ответ:    $\bf x=\dfrac{2+2\sqrt{137}}{17}$   .