Question

У трикутнику ABC проведено бісектрису BK. На сторонах BA і BC позначили відповідно точки M і N такі, що ∠AKM = ∠CKN = ∠ABC. Доведіть, що пряма AC — дотична до кола, описаного навколо трикутника MBN.

Answer 1

Дано:  ∠AKM=∠CKN=∠ABC/2

Построим окружность, которая касается AC в точке K и проходит через вершину B.

(центр - пересечение перпендикуляра к AC через K и серединного перпендикуляра к BK)

Пусть она пересекает сторону AB в точке M1.

∠AKM1 =∠ABK (угол между касательной и хордой)

От луча в полуплоскость можно отложить только один угол, равный данному.

Лучи KM и KM1 совпадают, точки M и M1 совпадают.

Аналогично точка N.

Пришли к условию задачи: AC касается окружности MBN.