Question

Задача: Пусть R(x) будет остаток остаток когда X^100 делится на (x-2). Найти R(2).

Вопросы (свои): Как решать такого рода задачки (основы теоремы Безо знаю). Какие темы нужно изучить для решения таких задач.

И в дополнение, искренне прошу максимально подробно описать путь решения задачи, обьясняя модель задачи и решение подобных.

Знаю, запросы Наполеоновские, но если кто поможет, повешу имя на стенку в рамке



Нужно дать целочисленный ответ.

Пример из теста, так что дам и варианты ответов.

(а) 101 (б) 103 (в) 105 (г) 107 (д) 109.

на фото ответ, который не понимаю не из-за английского

Answer 1

Ответ: R(2) = 101

Пошаговое объяснение:

Что нужно знать:

1) То, что остаток не может быть больше делителя

2) Polynomial remainder theorem (проще говоря нужно уметь представить многочлен в виде a = qb +r ( где a делимое, b - делитель , q - коэффициент, r- остаток)

3) Иметь общее представления о том, что такое функция и производная.

Решение:

Скажем что Q(x) это функция коэффициента( мы можем обозначить его как угодно). Из теоремы следует что мы можем представить x^100 как:

x^100 = Q(x)*(x-1)^2+ R(x)   (R(x) это функция остатка, и опять же чтобы было легче понимать мы обозначили его за букву R(remainder))

Выше я уже упомянул, что остаток не может быть больше делителя, в нашем случае делитель (x-2)^2, следовательно наш остаток R(x) = ax + b (на 1 степень меньше чем делитель). Из функции очевидно, что R(1) = a + b ( мы подставили 1 чтобы выразить сумму a и b). Теперь же подставим 1 вместо x в верхнее уравнение, получим 1 = Q(1)*(1-1)^2 +R(1), из уравнения получается, что R(1) = 1, или же R(1) = a+b = 1. Теперь посчитаем производную от R(x) чтобы найти чистое значение a, d/dx(R(x)) = d/dx(ax+b) = a. Также посчитаем производную и другой функции R(x), получим: 100x^99 = d/dx(Q(x))*(x-2)^2 + (x-2)^2*d/dx(Q(x)) + d/dx(R(x)), опять же подставим один что функция Q(x) обратиласть в ноль, получим из уравнения d/dx(R(1)) = a = 100.

Подставим "a" в "(a+b)" получим 100+b = 1, следовательно b = -99

Подставим значения a и b в нашу функцию и получим R(x) = 100x - 99, поскольку нас просят найти R(2): R(2) = 100*2 - 99 = 101

Ответ: R(2) = 101.

Попытался макимально подробно, если есть вопросы пиши.