Question

ПОМОГИТЕ! ДАМ 25 БАЛЛОВ! Напишите с объяснениями, как и что получается, пожалуйста.
Решите уравнение: $\sqrt{2x+5}-\sqrt{3x-5} = 2$

Answer 1

Ответ:  х=2 .

$\sqrt{2x+5}-\sqrt{3x-5}=2$  

Подкоренные выражения должны быть неотрицательными .

ОДЗ:  $\left\{\begin{array}{l}2x+5\geq 0\\3x-5\geq 0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}x\geq -2,5\\x\geq \dfrac{5}{3}\end{array}\right\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x\geq \dfrac{5}{3}$  

Уединим первый корень . Это хорошо сделать , так как тогда левая и правая части равенства будут одного знака, неотрицательными .

$\sqrt{2x+5}=\sqrt{3x-5}+2$

Возведём в квадрат обе части равенства , это хорошо сделать, если  обе части равенства неотрицательные .

$2x+5=(3x-5)+2\cdot 2\sqrt{3x-5}+4\\\\2x+5=3x-1+4\sqrt{3x-5}$  

Опять уединим корень . И так как сам корень принимает только неотрицательные значения , то и правая часть равенства должна быть неотрицательной . Поэтому потом будем решать систему.$4\sqrt{3x-5}=6-x\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \left\{\begin{array}{l}6-x\geq 0\\16(3x-5)=(6-x)^2\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}6\geq x\\48x-80=36-12x+x^2\end{array}\right$  

$\left\{\begin{array}{l}x\leq 6\\x^2-60x+116=0\end{array}\right\\\\\\x^2-60x+116=0\ \ ,\ \ \ D/4=(b/2)^2-ac=30^2-116=784=28^2\ ,\\\\x_{1,2}=\dfrac{-(b/2)\pm \sqrt{D}}{a} \ \ ,\ \ x_1=30-28=2\ ,\ \ x_2=28+30=58$  

Сверяем корни кв. ур-ия с 1-ым неравенством в системе: х≤6 .

Подходит только первый корень  х=2 .  

 Можно сделать проверку и убедиться, что х=58 не является корнем заданного уравнения . При подстановке х=58 в условие, не получим верного равенства .