Question

Число 2010 представили в виде суммы 4 точных квадратов. Сколько среди них могло быть нечётных чисел? Приведите все возможные ответы и подтверждающие их примеры.

Answer 1

Ответ:

2

Пошаговое объяснение:

2010=a²+b²+c²+d². Если среди чисел a, b, c, d нечетных чисел одно или три, правая часть будет нечетной, и равенство невозможно.

Если все числа четные, то их квадраты делятся на 4, а тогда и их сумма делится на 4. Однако 2010 на 4 не делится, поэтому снова равенство невозможно.

Если все числа нечетные, a=2k+1; b=2m+1; c=2n+1; d=2q+1, то

           a²+b²+c²+d²=4k²+4k+1+4m²+4m+1+4n²+4n+1+4q²+4q+1=

                               =4(k²+m²+n²+q²+k+m+n+q+1) -

делится на 4, а 2010 на 4 не делится.

Остается случай, когда два числа четные, два нечетные. Тут достаточно привести пример такого равенства:

               2010=1849+121+36+4=43²+11²+6²+2².