Question

................................
Решите 79 задачу

Answer 1

Ответ:

78-я задача: 35; 79-я задача: 21.

Пошаговое объяснение:

Сделаем заодно и 78-ю задачу. Поскольку x≠0⇒x²+11x-6=0; x²+11x=6. Поэтому

$\sqrt{(x+4)(x+5)(x+6)(x+7)+1}=\sqrt{\left((x+4)(x+7)\right)\cdot\left((x+5)(x+6)\right)+1}=$

$\sqrt{(x^2+11x+28)(x^2+11x+30)+1}=\sqrt{(6+28)(6+30)+1}=$

$\sqrt{34\cdot 36+1}=\sqrt{(35-1)(35+1)+1}=\sqrt{35^2-1+1}=\sqrt{35^2}=35.$

Переходим к 79-й задаче. Упростим задачу, сделав замену x-1=a, y-1=b, z-1=c. Для a, b, c задача свелась к подсчету числа неотрицательных целых троек таких, что a+b+c=16-3=13. Обозначим через $S_3(n)$ количество троек неотрицательных целых чисел, чья сумма равна n.

Обозначими через  $S_2(n)$ количество двоек неотрицательных целых чисел, чья сумма равна n. Это количество подсчитать совсем просто.

Если n=2k, то есть n - четное число, то двойки имеют вид (0;2k);

(1;2k-1); (2;2k-2);...; (k;k) - их k+1  штука, то есть $S_2(n)=k+1$.

Если n=2k+1, то двойки имеют вид (0;2k+1); (1;2k); (2;2k-1);... ; (k;k+1) - их

k+1 штука, то есть $S_2(n)=k+1$.

Для знающих, что такое целая часть [n] числа n, получаем для $S_2(n)$ такую формулу:

                                    $S_2(n)=\left[\dfrac{n}{2}\right]+1.$

(Целая часть числа n - это наибольшее целое число, не большее n.)

Мы подготовили почву для получения рекуррентной формулы. Разобьем все тройки на тройки, включающие в себя хотя бы один ноль, и тройки без нулей.

Разберемся с тройками первого типа. Уберем из таких троек одно число, а именно ноль. Тройка станет двойкой с прежней суммой, поэтому таких троек $S_2(n).$

Переходим к тройкам без нулей, то есть к тройкам из натуральных чисел. Вычитая из каждого из них 1, получаем тройки из неотрицательных чисел, чья сумма равна n-3 - таких троек в наших обозначениях $S_3(n-3).$

Отсюда следует формула

                                   $S_3(n)=S_2(n)+S_3(n-3).$

Иными словами,

                                   $S_3(n)=\left[\dfrac{n}{2}\right]+1+S_3(n-3).$

Применяя эту формулу, получаем:

$S_3(13)=\left[\dfrac{13}{2}\right]+1+S_3(10)=7+\left[\dfrac{10}{2}\right]+1+S_3(7)=$

$13+\left[\dfrac{7}{2}\right]+1+S_3(4)=17+\left[\dfrac{4}{2}\right]+1+S_3(1)=20+1=21.$

Замечание. Возможно, кому-то решение покажется слишком сложным - ведь быстрее просто выписать все тройки. Тогда мой способ подсказывает, как можно организовать прямой подсчет. Во-первых, можно отказаться от перехода от натуральных чисел к целым неотрицательным. Тогда все тройки разбиваем на те, в которых есть хотя бы одна 1 - это (1;1;14); (1;2;13); (1;3;12); (1;4;11); (1;5;10);

(1;6;9); (1;7;8) - здесь 7 троек, а остальные (они уже без единой единицы) разбиваем на те, в которых есть хотя бы одна двойка - это

(2;2;12); (2;3;11); (2;4;10); (2;5;9); (2;6;8); (2;7;7) - здесь 6 троек, а остальные (они уже без единиц и двоек) разбиваем на те, в которых есть хотя бы одна тройка - это (3;3;10); (3;4;9); (3;5;8); (3;6;7) - здесь 4 тройки, а остальные (они уже без единиц, двоек и троек) разбиваем на те, в которых есть хотя бы одна четверка - это (4;4;8); (4;5;7); (4;6;6) - здесь 3 тройки, а остальные (они уже без единиц, двоек, троек и четверок) разбиваем на те, в которых есть хотя бы одна пятерка - это (5;5;6) - здесь 1 тройка, а остальные (они уже без единиц, двоек, троек, четверок и пятерок) - ау! а где вы, остальные? - нет их!

Поэтому всего 7+6+4+3+1=21 тройка.