Question

При каких значениях параметра а система имеет 4 решения

Answer 1

Положим $y=\sqrt{3}\cdot|x|-a$ в первое уравнение системы

$x^2+(\sqrt{3}\cdot|x|-a)^2=16$

$|x|^2+3|x|^2-2a\sqrt{3}\cdot |x|+a^2-16=0$

$4|x|^2-2a\sqrt{3}\cdot |x|+a^2-16=0$

Данная система имеет ровно 4 решения, если последнее квадратное уравнение относительно $|x|$ имеет два положительных корня, то есть, исходя из теоремы Виета:

$\begin{cases} & \text{ } \frac{a^2-16}{4} > 0 \\ & \text{ } \frac{2a\sqrt{3}}{4} > 0 \\ & \text{ } D > 0 \end{cases}~~\Rightarrow~~\begin{cases} & \text{ } a^2-16 > 0 \\ & \text{ } a > 0 \\ & \text{ } 12a^2-16(a^2-16) > 0 \end{cases}~~\Rightarrow~~\begin{cases} & \text{ } |a| > 4 \\ & \text{ } a > 0 \\ & \text{ } a^2-64 < 0 \end{cases}$

$\begin{cases} & \text{ } |a| > 4 \\ & \text{ } a > 0 \\ & \text{ } |a| < 8 \end{cases}~~\Rightarrow~~ 4 < a < 8$

Ответ: $a\in (4;8)$