Question

Помогите вычислить, желательно подробно

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

Answer 2

Ответ:  9 .

Вычислим каждое слагаемое по отдельности , применяя свойства логарифмов .

$\star \ \ log_{\sqrt[3]{5}}\ \dfrac{125}{\sqrt2+\sqrt3}=log_{5^{1/3}}\ \dfrac{5^3}{\sqrt2+\sqrt3}=\dfrac{1}{1/3}log_{5}\ \dfrac{5^3}{\sqrt2+\sqrt3}=\\\\\\=3\Big(log_{5}\, 5^3-log_5(\sqrt2+\sqrt3)\Big)=9log_55-3log_5(\sqrt2+\sqrt3)=9-3\, log_5(\sqrt2+\sqrt3)\ ;$

$\star \ \ \dfrac{3}{2}\, \log_{1/5}\ \dfrac{1}{5+2\sqrt6}=\dfrac{3}{2}\, \log_{5^{-1}}\ \dfrac{1}{5+2\sqrt6}=-\dfrac{3}{2}\, \log_{5}\ \dfrac{1}{5+2\sqrt6}=\\\\\\=-\dfrac{3}{2}\, \Big(\log_{5}\ 1-log_5\, (5+2\sqrt6)\Big)=-\dfrac{3}{2}\, \Big(\ 0-log_5\, (5+2\sqrt6)\Big)=\dfrac{3}{2}\, log_5\, (5+2\sqrt6)\ ;$

Теперь вычислим заданное выражение .

$log_{\sqrt[3]{5}}\ \dfrac{125}{\sqrt2+\sqrt3}+\dfrac{3}{2}\, \log_{\frac{1}{5}}\ \dfrac{1}{5+2\sqrt6}=9-3\, log_5(\sqrt2+\sqrt3)+\dfrac{3}{2}\, log_5(5+2\sqrt6)=\\\\\\=9-3\, log_5(\sqrt2+\sqrt3)+3\, log_5\sqrt{5+2\sqrt6}=\\\\=9+3\Big(log_5\sqrt{5+2\sqrt6}-log_5(\sqrt2+\sqrt3)\Big)=9+3\cdot log_5\dfrac{\sqrt{5+2\sqrt6}}{\sqrt2+\sqrt3}=\\\\\\=9+3\cdot log_5\dfrac{\sqrt{(\sqrt2+\sqrt3)^2}}{\sqrt2+\sqrt3}=9+3\cdot log_5\dfrac{\sqrt2+\sqrt3}{\sqrt2+\sqrt3}=9+3\cdot log_5\, 1=9+3\cdot 0=9$