Question

5.Знайдіть множину розв'язків нерівності:
1)(x-6)(x+3)²(x+1)>0
2)x²+3x-10/x²+8x+16<0
6.Розв'яжіть нерівність:
(x-4)²-(x+7)³/x-6 =>0

Answer 1

Відповідь:

1) (-∞;-3) ∪ (-3;-1) ∪ (6;+∞)

2) (-5;-4) ∪ (-4;2)

3) [-1.5;6)

Пояснення:

1) (x-6)(x+3)²(x+1)>0

Прирівняємо до нуля

(x-6)(x+3)²(x+1)=0

(x-6)=0          (x+3)²=0           (x+1)=0

х=6                   х=-3                   х=-1

Отримані 3 точки ділять числову пряму на 4 проміжки, дослідимо кожний з них:

1) З проміжку (-∞;-3) візьмемо число -10

(-10-6)(-10+3)²(-10+1)>0

(-16)*(-7)²*(-9)>0 (Вірно, проміжок підходить, оскільки квадрат числа завжди додатній, а добуток 2 від'ємних чисел буде додатнім, тому число отримаємо більше нуля)

2) З проміжку (-3;-1) візьмемо число -2

(-2-6)(-2+3)²(-2+1)>0

(-8)*(1)²*(-1)>0 (Вірно, проміжок підходить, оскільки добуток 2 від'ємних чисел буде додатнім, тому число отримаємо більше нуля)

3) З проміжку (-1;6) візьмемо число 0

(0-6)(0+3)²(0+1)>0

(-6)*(3)²*(1)>0 (Не вірно, проміжок не підходить, оскільки добуток  від'ємного і додатного чисел буде від'ємним, тому число отримаємо менше нуля)

4) З проміжку (6;+∞) візьмемо число 10

(10-6)(10+3)²(10+1)>0

(4)*(13)²*(11)>0 (Вірно, проміжок підходить, оскільки добуток   додатних чисел буде додатнім, тому число отримаємо більше нуля)

Відповідь: х є (-∞;-3) ∪ (-3;-1) ∪ (6;+∞)

2) x²+3x-10/x²+8x+16<0

$\frac{x^2+3x-10}{x^2+8x+16} < 0$

Чисельник дорівнює нулю, знаменник не дорівнює

$x^2+3x-10=0\\D=3^2-4*(-10)=9+40=49\\x_1=\frac{-3-7}{2}=-5\\ x_2=\frac{-3+7}{2}=2\\\\x^2+8x+16\neq 0\\D=8^2-4*16=64-64=0\\x\neq \frac{-8}{2}\neq -4$

У нас знову 3 числа, що утворюють 4 проміжки, будемо провіряти кожний:

1) З проміжку (-∞;-5) візьмемо число -10

$\frac{(-10)^2+3*(-10)-10}{(-10)^2+8*(-10)+16} < 0\\\frac{100-30-10}{100-80+16} < 0\\\frac{60}{36} < 0$             (Не вірно, проміжок не підходить)

2) З проміжку (-5;-4) візьмемо число -4,5

$\frac{(-4,5)^2+3*(-4,5)-10}{(-4,5)^2+8*(-4,5)+16} < 0\\\frac{20,25-13,5-10}{20,25-36+16} < 0\\\frac{-3,25}{0,25} < 0$           (Вірно, проміжок підходить)

3) З проміжку (-4;2) візьмемо число 0

$\frac{0^2+3*0-10}{0^2+8*0+16} < 0\\\frac{0+0-10}{0+0+16} < 0\\\frac{-10}{16} < 0$                          (Вірно, проміжок підходить)

4) З проміжку (2;+∞) візьмемо число 10

$\frac{10^2+3*10-10}{10^2+8*10+16} < 0\\\frac{100+30-10}{100+80+16} < 0\\\frac{120}{196} < 0$                    (Не вірно, проміжок не підходить)

Відповідь: х є (-5;-4) ∪ (-4;2)

6) (x-4)²-(x+7)²/x-6 =>0

$\frac{(x-4)^2-(x+7)^2}{x-6} \geq 0$

Чисельник дорівнює нулю, знаменник не дорівнює

$(x-4)^2-(x+7)^2=0\\x^2-8x+16-(x^2+14x+49)=0\\-8x-14x=-16+49\\-22x=33\\x=-1,5$

$x\neq 6$

Дві точки розділяють на 3 проміжки, перевіримо їх:

1) З проміжку (-∞;-1,5) візьмемо число -10

$\frac{(-10-4)^2-(-10+7)^2}{-10-6} \geq 0\\\frac{(-14)^2-(-3)^2}{-16} \geq 0\\\frac{14^2-3^2}{-16} \geq 0$             (Не вірно, проміжок не підходить)

2) З проміжку [-1.5;6) візьмемо число 0

$\frac{(0-4)^2-(0+7)^2}{0-6} \geq 0\\\frac{4^2-7^2}{-6} \geq 0$           (Вірно, проміжок підходить)

3) З проміжку (6;+∞) візьмемо число 10

$\frac{(10-4)^2-(10+7)^2}{10-6} \geq 0\\\frac{6^2-17^2}{4} \geq 0$                    (Не вірно, проміжок не підходить)

Відповідь: х є [-1.5;6)