Question

40 БАЛЛОВ!!! ПОМОГИТЕ!!!!

Answer 1

Ответ:

1. ОДЗ: х ∈ R.

2. функция не является четной или нечетной;

3. х = 0 ⇒ у = 10;

у = 0 ⇒ х₁ = -2,4;   х₂ = 0,9;   х₃ = 4,5;

4. асимптот нет;

5. Функция возрастает на промежутках: (-∞; -1];   [3; +∞).

Функция убывает на промежутках: [-1; 3].

х max = -1;   x min = 3.

6. Функция выпукла на промежутке: (-∞; 1].

Функция вогнута на промежутке: [1; +∞].

х перегиба = 1

Пошаговое объяснение:

Исследовать функцию методом дифференциального исчисления и построить график:

y = x³ - 3x² - 9x + 10

1. ОДЗ: х ∈ R.

2. Четность, нечетность.

• Если f(-x) = f(x), то функция четная, если f(-x) = -f(x) - нечетная.

у(-х) = (-х)³ - 3 · (-х)² - 9 · (-х) + 10 = -х² - 3х² + 9х +10

f(-x) ≠ f(x) ≠ -f(x) ⇒ функция не является четной или нечетной.

3. Пересечение с осями координат.

а) с осью Оу ⇒ х = 0

у = 10

б) с осью Ох ⇒ у = 0

х³ - 3х² - 9х + 10 = 0

х₁ = -2,4;   х₂ = 0,9;   х₃ = 4,5

(корни найдены с помощью онлайн калькулятора)

4. Асимптоты.

Функция непрерывна, асимптот нет.

5. Возрастание, убывание, экстремумы.

Найдем производную, приравняем к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и определим знаки производной на промежутках.

y' = 3x² - 6x -9

y' = 0 ⇒ 3x² - 6x - 9 = 0   |:3

x² - 2x - 3 = 0

По теореме Виета:

х₁ = -1;   х₂ = 3

$+++[-1]---[3]+++$

Функция возрастает на промежутках: (-∞; -1];   [3; +∞).

Функция убывает на промежутках: [-1; 3]

• Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке наблюдается максимум, если с минуса на плюс, то в данной точке  - минимум.

⇒ х max = -1;   x min = 3.

y(-1) = -1 - 3 + 9 + 10 = 15

y(3) = 27 - 27 -27 +10 = -17

6. Выпуклость, вогнутость.

Найдем производную второго порядка, приравняем к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и определим знаки второй производной на промежутках.

y'' = 6x - 6 = 6(x - 1)

y'' = 0   ⇒ 6(x - 1) = 0

x = 1

$---[1]+++$

• Если производная второго порядка положительна, функция вогнута, если отрицательна - выпукла.

⇒ Функция выпукла на промежутке: (-∞; 1].

Функция вогнута на промежутке: [1; +∞].

х перегиба = 1

у(1) = 1 - 3 - 9 + 10 = -1.

Строим график.