Question

При каких значениях х наибольшим слагаемое разложения (5+3х)^10 будет четвёртый.

Answer 1

Ответ:

наибольшим слагаемым  разложения (5+3х)¹⁹  будет четвёртый член разложения при     $\displaystyle \boldsymbol {\frac{5}{8} < x < \frac{20}{21}}$

Пошаговое объяснение:

Здесь надо использовать формулу   бинома Ньютона

$\displaystyle \bigg(a+b\bigg)^n=\sum \limits_{k=0}^nC_n^k*a^{n-k}*b^k$

Надо записать условие, когда четвертый член разложения больше третьего и больше пятого.

$\displaystyle \left \{ {{C_{10}^3*(3x)^3*5^7 > C_{10}^2*(3x)^2*5^8} \atop { C_{10}^3*(3x)^3*5^7 > C_{10}^4*(3x)^4*5^4}} \right.$

Распишем первое уравнение

$\displaystyle \frac{10!}{3!*7!} *(3x)^3*5^7 > \frac{10!}{2!*8!} *(3x)^2*5^8$

Умножим обе части на     $\displaystyle \frac{10!}{2!*7!} *\frac{1}{(3x)^2} *\frac{1}{5^7}$

получим

$\displaystyle \frac{1}{3} *3x > \frac{1}{8} *5\\\\\\\boxed {x > \frac{5}{8} }$

Проведем аналогичные преобразования во втором уравнении и получим

$\displaystyle \frac{10!}{3!*7!} *(3x)^3*5^7 > \frac{10!}{4!*6!} *(3x)^4*5^6\quad \bigg|*\; \frac{10!}{3!*6!} *\frac{1}{(3x)^3} *\frac{1}{5^6} \\\\\\\frac{1}{7} *5 > \frac{1}{4} *3x\\\\\\\boxed {x < \frac{20}{21} }$

Теперь вспоминаем, что мы решали систему и получаем ответ

$\displaystyle \frac{5}{8} < x < \frac{20}{21}$

#SPJ1