Question

Пожалуйста решите даю 15 баллов!!!

Answer 1

Ответ:

$\frac{1}{{\sqrt[5]{e}}}$

Пошаговое объяснение:

При подстановке предельного значения аргумента $x = 0$ получаем неопределенность вида ${1^\infty }$. Раскроем ее.

$\displaystyle\frac{{x + 1}}{{2x + 1}} = \displaystyle\frac{{2x + 1 - x}}{{2x + 1}} = 1 + \left( { - \displaystyle\frac{x}{{2x + 1}}} \right).$

Воспользуемся вторым замечательным пределом

$\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} {(1 + t)^{\displaystyle\frac{1}{t}}} = e.$

Перепишем данное выражение:

${\left( {\displaystyle\frac{{x + 1}}{{2x + 1}}} \right)^{\displaystyle\frac{1}{{5x}}}} = {\left( {{{\left( {1 + \left( { - \displaystyle\frac{x}{{2x + 1}}} \right)} \right)}^{ - \displaystyle\frac{{2x + 1}}{x}}}} \right)^{ - \displaystyle\frac{1}{{5(2x + 1)}}}}.$

Тогда

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + \left( { - \displaystyle\frac{x}{{2x + 1}}} \right)} \right)^{ - \displaystyle\frac{{2x + 1}}{x}}} = e;$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\displaystyle\frac{{x + 1}}{{2x + 1}}} \right)^{\displaystyle\frac{1}{{5x}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {{{\left( {1 + \left( { - \displaystyle\frac{x}{{2x + 1}}} \right)} \right)}^{ - \displaystyle\frac{{2x + 1}}{x}}}} \right)^{ - \displaystyle\frac{1}{{5(2x + 1)}}}} =\\\\= {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( { - \displaystyle\frac{1}{{5(2x + 1)}}} \right)}} = {e^{ - \displaystyle\frac{1}{5}}}.$

#SPJ1