Question

100 баллов! срочно! решить неравенство, используя алгоритм:
1. разложить числитель и знаменатель на множители
2. привести неравенство к виду
$\frac{p}{g } \geqslant 0$
3. использовать систему
$p \times g \geqslant 0$
g не равно 0

с подробным пошаговым решением.
а это данное неравенство
$\frac{ {x}^{2} + 3x + 2}{ {x}^{2} - |x| - 2} \geqslant - 3x$


​

Answer 1

Відповідь:

[$\frac{2}{3}$;1]∪(2;+∞)

Пояснення:

$\frac{x^2+3x+2}{x^2-|x|-2} \geq -3x$

Так как есть модуль, и потом нужно приводить к виду $\frac{p}{g} \geq 0$, то разделю ка я решение на 3 части

ЧАСТЬ 1 (x > 0)

$\frac{x^2+3x+2}{x^2-x-2} \geq -3x$

1. разложить числитель и знаменатель на множители

• Числитель:

$x^2+3x+2=0\\D=3^2-4*2=9-8=1\\x_1=\frac{-3-1}{2}=-2 \\x_2=\frac{-3+1}{2}=-1$

$x^2+3x+2=(x-x_1)(x-x_2)=(x+2)(x+1)$

• Знаменатель:

$x^2-x-2=0\\D=(-1)^2-4*(-2)=1+8=9\\x_1=\frac{1-3}{2}=-1 \\x_2=\frac{1+3}{2}=2$

$x^2-x-2=(x-x_1)(x-x_2)=(x+1)(x-2)$

2. привести неравенство к виду $\frac{p}{g} \geq 0$

$\frac{x^2+3x+2}{x^2-x-2} \geq -3x$

$\frac{(x+2)(x+1)}{(x+1)(x-2)} \geq -3x$

На данном этапе мы можем сократить на (х+1), но не забыв внести х≠-1 в ОДЗ

$\frac{(x+2)}{(x-2)} \geq -3x$

Теперь перенесем -3х вправо, и внесем в числитель

$\frac{(x+2)}{(x-2)} +3x\geq 0\\\frac{(x+2)}{(x-2)} +\frac{(x-2)3x}{(x-2)}\geq 0\\\frac{(x+2)+(x-2)3x}{(x-2)} \geq 0\\\frac{x+2+3x^2-6x}{(x-2)} \geq 0\\\frac{3x^2 -5x+2}{(x-2)} \geq 0$

3. использовать систему p*g≥0  g не равно 0

$\frac{3x^2 -5x+2}{(x-2)} \geq 0\\(3x^2 -5x+2)(x-2)\geq 0\\x\neq 2$

$(3x^2 -5x+2)(x-2)\geq 0\\(3x^2 -5x+2)(x-2)=0\\3x^2 -5x+2=0\\x-2=0$

$3x^2 -5x+2=0\\D=5^2-4*3*2=25-24=1\\x_1=\frac{5+1}{6} =1 \\x_2=\frac{5-1}{6} =\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

x-2=0

x₃=2

Еще вспомним про ОДЗ:  х≠-1  и х≠2

Тогда у нас 5 точек:   -1    0    2/3    1      2

Но так как мы решаем сейчас на промежутке от нуля, то берем только 4 точки, 0    2/3    1   и   2 (0 и 2 не включительно)

• На промежутке (0;2/3], возьмем 0,1

$\frac{0,1^2+3*0,1+2}{0,1^2-|0,1|-2} \geq -3*0,1\\\frac{0,01+0,3+2}{0,01-0,1-2} \geq -0,3\\\frac{2,31}{-1,89}\geq -0,3\\-1,22\geq -0,3$Не верно, промежуток не подходит

• На промежутке [2/3;1], возьмем 0,9

$\frac{0,9^2+3*0,9+2}{0,9^2-|0,9|-2} \geq -3*0,9\\\frac{0,81+2,7+2}{0,81-0,9-2} \geq -2,7\\\frac{5,51}{-2,09}\geq -2,7\\-2,63\geq -2,7$Верно, промежуток подходит

• На промежутке [1;2), возьмем 1,1

$\frac{1,1^2+3*1,1+2}{1,1^2-|1,1|-2} \geq -3*1,1\\\frac{1,21+3,3+2}{1,21-0,1-2} \geq -3,3\\\frac{6,51}{-0,89}\geq -0,3\\-7,31\geq -0,3$Не верно, промежуток не подходит

• На промежутке (2;+∞), возьмем 10

$\frac{10^2+3*10+2}{10^2-|10|-2} \geq -3*10\\\frac{100+30+2}{100-10+2} \geq -30\\\frac{132}{92}\geq -0,3$Верно, промежуток подходит

Тогда результат первой части такой [$\frac{2}{3}$;1]∪(2;+∞)

ЧАСТЬ 2 (x < 0)

$\frac{x^2+3x+2}{x^2+x-2} \geq -3x$

1. разложить числитель и знаменатель на множители

• Числитель:

$x^2+3x+2=0\\D=3^2-4*2=9-8=1\\x_1=\frac{-3-1}{2}=-2 \\x_2=\frac{-3+1}{2}=-1$

$x^2+3x+2=(x-x_1)(x-x_2)=(x+2)(x+1)$

• Знаменатель:

$x^2+x-2=0\\D=1^2-4*(-2)=1+8=9\\x_1=\frac{-1-3}{2}=-2 \\x_2=\frac{-1+3}{2}=1$

$x^2+x-2=(x-x_1)(x-x_2)=(x+2)(x-1)$

2. привести неравенство к виду $\frac{p}{g} \geq 0$

$\frac{x^2+3x+2}{x^2+x-2} \geq -3x$

$\frac{(x+2)(x+1)}{(x+2)(x-1)} \geq -3x$

На данном этапе мы можем сократить на (х+2), но не забыв внести х≠-2 в ОДЗ

$\frac{(x+1)}{(x-1)} \geq -3x$

Теперь перенесем -3х вправо, и внесем в числитель

$\frac{(x+1)}{(x-1)} +3x\geq 0\\\frac{(x+1)}{(x-1)} +\frac{(x-1)3x}{(x-1)}\geq 0\\\frac{(x+1)+(x-1)3x}{(x-1)} \geq 0\\\frac{x+1+3x^2-3x}{(x-1)} \geq 0\\\frac{3x^2 -2x+1}{(x-1)} \geq 0$

3. использовать систему p*g≥0  g не равно 0

$\frac{3x^2 -2x+1}{(x-1)} \geq 0\\(3x^2 -2x+1)(x-1)\geq 0\\x\neq 1$

$(3x^2 -2x+1)(x-1)\geq 0\\(3x^2 -2x+1)(x-1)=0\\3x^2 -2x+1=0\\x-1=0$

$3x^2 -2x+1=0\\D=(-2)^2-4*3*1=4-12=-8 < 0$

x-1=0

x=1

Еще вспомним про ОДЗ:  х≠1  и х≠-2

Тогда у нас 3 точки:  -2     0    1    

Но так как мы решаем сейчас на промежутке до нуля, то берем только 2 точки, -2 и 0 (обе не включительно)

• На промежутке (-∞;-2), возьмем -10

$\frac{(-10)^2+3*(-10)+2}{(-10)^2-|-10|-2} \geq -3*(-10)\\\frac{100-30+2}{100-10-2} \geq 30\\\frac{72}{88}\geq 30$Не верно, промежуток не подходит

• На промежутке (-2;0), возьмем -1

$\frac{(-1)^2+3*(-1)+2}{(-1)^2-|-1|-2} \geq -3*(-1)\\\frac{1-3+2}{1-1-2} \geq 3\\\frac{0}{-2}\geq 3\\0\geq 3$     Не верно, промежуток не подходит

Тогда результат второй части такой ∅

ЧАСТЬ 3 (x = 0)

$\frac{x^2+3x+2}{x^2-|x|-2} \geq -3x\\\\\frac{0^2+3*0+2}{0^2-|0|-2} \geq -3*0\\\\\frac{2}{-2} \geq0$   Не верно, промежуток не подходит

Тогда результат третей части такой ∅

Результат вместе [$\frac{2}{3}$;1]∪(2;+∞)