Question

Найти наибольшее отрицательное решение в градусах $ctg(4x-\frac{\pi }{3} )=-\sqrt{3}$

Answer 1

Ответ:

Решение уравнения  $ctg\, t=a$  имеет вид   $t=arcctg\, a+\pi n\ ,\ n\in Z$  .

$ctg(4x-\dfrac{\pi}{3})=-\sqrt3\\\\4x-\dfrac{\pi}{3}=arcctg(-\sqrt3)+\pi n\ \ ,\ n\in Z\\\\4x-\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{\pi}{6}+\pi n\ \ ,\ n\in Z\\\\4x=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{6}+\pi n\ \ ,\ n\in Z\\\\4x=\dfrac{\pi}{6}+\pi n\ \ ,\ n\in Z\\\\\boxed{\ x=\dfrac{\pi}{24}+\dfrac{\pi n}{4}\ \ ,\ n\in Z\ }$    

Отрицательные решения :    $x=\dfrac{\pi}{24}+\dfrac{\pi n}{4} < 0\ \ ,\ n\in Z\\\\\dfrac{\pi}{24}+\dfrac{\pi n}{4}=\dfrac{\pi +6\pi n}{24} < 0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \pi +6\pi n < 0\ \ ,\ \ \pi \cdot (1+6n) < 0\ \ ,\\\\1+6n < 0\ \ ,\ \ n < -\dfrac{1}{6}\ \ ,\ n\in Z$

Отрицательные решения будем получать при целых  n  , которые меньше  -1/6 , то есть при  $n=-1,-2,-3,...$   А наибольшее отрицательное решение получим при  $n=-1$ :

$\boldsymbol{x}=\dfrac{\pi}{24}+\dfrac{\pi \cdot (-1)}{4}=\dfrac{\pi -6\pi }{24}=\boldsymbol{-\dfrac{5\pi }{24}=-37,5^\circ }$      - ответ