Середины сторон выпуклого четырёхугольника ABCD лежат на окружности. Известно, что AB=1 BC=4 CD=8. Найдите AD.
Ответы
Ответ:
7
Пошаговое объяснение:
Отрезок, соединяющий середины сторон AB и BC, является средней линией треугольника ABC и поэтому паралеллен AC (и равен половине AC). Аналогичные утверждения можно сделать и про отрезки, соединяющие середины сторон BC и CD, CD и DA, DA и AB. Отсюда вывод: четырехугольник, вершины которого являются серединами сторон четырехугольника ABCD, является параллелограммом (это так называемый параллелограмм Вариньона). А как известно, противоположные углы параллелограмма равны. По условию вокруг этого параллелограмма можно описать окружность, откуда, как тоже известно из школьной программы, сумма противоположных углов равна 180°. Вывод: эти углы равны 90°, то есть параллелограмм Вариньона является в нашем случае прямоугольником. А поскольку диагонали AC и BD параллельны сторонам параллелограмма Вариньона, делаем вывод, что AC и BD перпендикулярны. Пусть AC и BD пересекаются в точке O. Обозначим AO=a; BO=b; CO=c; DO=d. Применяя теорему Пифагора к прямоугольным треугольникам AOB, BOC, COD и DOA, получаем
a²+b²=1²; b²+c²=4²; c²+d²=8²; d²+a²=AD².
Вычитая из суммы первого и третьего равенств второе равенство, получаем
(a²+b²)+(c²+d²)-(b²+c²)=1+64-16; a²+d²=49; AD=7.