Question

Как найти (два) числа, если известен их НОК и НОД? (Можете перевести формулу или пример)​

Answer 1

Ответ:

В общем случае однозначно определить эти числа нельзя

Пошаговое объяснение:

Пусть наибольший общий делитель чисел a и b равен d, а наибольшее общее кратное равно l. Попробуем найти числа a и b, зная d и l.

d — делитель a и b, значит, существуют такие целые x и y, что a = xd, b = yd. При этом d — наибольший общий делитель, так что x и y взаимно просты, в противном случае общий делитель x и y можно быть бы включить в НОД, и НОД бы увеличился.

НОК при этом равен xyd: если в уме разложить a и b на простые множители, можно понять, что в НОК должны входить все множители d и дополнительно все множители x и y. Другой способ это понять — знание того, что всегда НОД(a, b) · НОК(a, b) = ab.

Опираясь на написанное выше, можно поступать так:

1. Если l не делится на d, то условие противоречиво, никакие a и b не смогут иметь такие НОК и НОД
2. Иначе делим l на d, результат — произведение x на y.
3. Раскладываем xy на простые множители. Степень каждого простого числа можно "отдать" либо x, либо y — но только полностью, так как у x и y нет общих сомножителей
4. Полученные x и y домножаем на d и получаем a и b.

Пример

Найдём все натуральные числа a, b, НОД которых равен 7 и НОК равен 84.

1. 84 делится на 7, всё хорошо
2. xy = 84 : 7 = 12
3. xy = 12 = 2² · 3. Степени 2 и 3 можно внести в x (тогда x = 12, y = 1); 2 в x и 3 в y (x = 4, y = 3); 3 в x и 2 в y (x = 3, y = 4); 2 и 3 в y (x = 1, y = 12)
4. Этим значениям (x, y) соответствуют пары (a, b): (12 · 7, 1 · 7) = (84, 7), (28, 21), (21, 28) и (7, 84)