Question

Если трехзначные числа вида aba делить на 7, то получатся одинаковые остатки. Найдите этот остаток, если сумма цифр a и b делится на 7 без остатка. ​

Answer 1

По условию, сумма цифр a и b делится на 7:

$a+b=7n,\ n\in\mathbb{N}$

Рассмотрим заданное число:

$\overline{aba}=100a+10b+a=101a+10b=98a+3a+7b+3b=$

$=(98a+7b)+(3a+3b)=7(14a+b)+3(a+b)=7(14a+b)+3\cdot 7n$

Заметим, что каждое слагаемое в преобразованном выражении содержит множитель 7. Следовательно, каждое слагаемое, а значит и все выражение в целом, делится на 7.

$(7(14a+b)+3\cdot 7n)\,\vdots\ 7 \Rightarrow \overline{aba}\ \vdots\ 7$

Если число делится на 7, то соответствующий остаток при делении равен 0.

Ответ: 0