Question

Скласти рівняння гіперболи і перевірити за допомогою теорії інваріантів, якщо відстань між директрисами гіперболи дорівнює 18/5, а фокусами є точки F1(3,4) і F2(–3, –4)

Answer 1

Так как фокусы гиперболы симметричны относительно начала координат, то центр гиперболы – это начало координат.

Большая полуось c = √(3² + 4²) = 5.

Используем свойства директрисы и фокуса.

a*e = 5, a = 5/e.

a/e =9/5, 5/e² = 9/5, 9e² = 25, e = 5/3.

Отсюда а = 5/(5/3) = 3, b = √(c² - a²) = √(5² - 3²) = √(25 – 9) = √16 = +-4.

Получаем каноническое уравнение гиперболы, повёрнутой вокруг начала координат до совпадения её осей с осями координат

(x²/3²) – (y²/4²) = 1.

Угол поворота определим из координат фокусов.

tgα=4/3.

Отсюда угол равен  arctg(4/3) =  53,13010235 градуса.

Теперь восстановим уравнение гиперболы в первоначальном положении.

sin⁡α=4/5.cos⁡α=3/5.

(x²/3²) – (y²/4²) = 1.

((3x/5) + (4y/5))²/9 - ((3y/5) - (4x/5))²/16 = 1.

((9x²/25) + (24xy/25) + (16y²/25)/9) - ((9y²/25) + (24xy/25) -16x²/25)/16) = 1.

(x²/25) + (8xy/75) + (16y²/225) - (9y²/400) + (3xy/50) -+ (x²/25) = 1.

144x² + 384xy + 256y² - 81y² + 216xy - 144x² - 3600 = 0.

600xy + 175y² - 3600 = 0. Сократив на 25, получаем уравнение:

24xy + 7y² - 144 = 0.

Или как уравнение линии 2-го порядка, заданное общим видом:

0x² + 2*12xy + 7y² + 2*0x + 2*0y - 144 = 0.

Имеем коэффициенты: A = 0, B = 12, C = 7, D = 0, E = 0, F = -144.