Question

Решите уравнение....

Answer 1

Решение.

Вычислить .

$\displaystyle \bf \Big(\frac{1}{\sqrt5+\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt8+\sqrt5}+\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt8}+...+\frac{1}{\sqrt{32}+\sqrt{29}}\Big)\cdot \frac{3}{\sqrt{2}}=$

Умножим числители и знаменатели дробей на выражения, сопряжённые знаменателю .

$\displaystyle \bf =\Big(\frac{\sqrt5-\sqrt2}{(\sqrt5+\sqrt2)(\sqrt5-\sqrt2)}+\frac{\sqrt8-\sqrt5}{(\sqrt8+\sqrt5)(\sqrt8-\sqrt5)}+\frac{\sqrt{11}-\sqrt8}{(\sqrt{11}+\sqrt8)(\sqrt{11}-\sqrt8)}+\\\\\\...+\frac{\sqrt{32}-\sqrt{29}}{(\sqrt{32}+\sqrt{29})(\sqrt{32}-\sqrt{29})}\Big)\cdot \frac{3}{\sqrt{2}}=$

Теперь воспользуемся формулой разности квадратов .

$\displaystyle \bf =\Big(\frac{\sqrt5-\sqrt2}{5-2}+\frac{\sqrt8-\sqrt5}{8-5}+\frac{\sqrt{11}-\sqrt8}{11-8}+...+\frac{\sqrt{32}-\sqrt{29}}{32-29}\Big)\cdot \frac{3}{\sqrt{2}}=\\\\\\=\frac{1}{3}\cdot \Big(\sqrt5-\sqrt2+\sqrt8-\sqrt5+\sqrt{11}-\sqrt8+...+\sqrt{29}-\sqrt{26}+\sqrt{32}-\sqrt{29}\Big)\cdot \frac{3}{\sqrt2}=$  

$\displaystyle \bf =\frac{1}{3}\cdot \Big(-\sqrt{2}+\sqrt{32}\Big)\cdot \frac{3}{\sqrt2}=\frac{1}{3}\cdot \Big(\sqrt{32}-\sqrt{2}\Big)\cdot \frac{3}{\sqrt2}=\frac{1}{3}\cdot \Big(\sqrt{2^5}-\sqrt{2}\Big)\cdot \frac{3}{\sqrt2}=\\\\\\=\frac{1}{3}\cdot \Big(2^2\cdot \sqrt{2}-\sqrt{2}\Big)\cdot \frac{3}{\sqrt2}=\frac{1}{3}\cdot \Big(4\sqrt{2}-\sqrt{2}\Big)\cdot \frac{3}{\sqrt2}=\frac{1}{3}\cdot 3\sqrt2\cdot \frac{3}{\sqrt2}=\\\\\\=\frac{3\sqrt2\cdot 3}{3\sqrt2}=3$

Ответ:   3  .