Question

Знайти площу криволінійної трапеції (А) і об'єм тіла обертання (Б)

________

Найти площадь криволинейной трапеции (А) и объем тела вращения (Б). Фото ниже
Это все что есть по заданию. Других данных нету

Answer 1

Ответ:

А) Площадь криволинейной трапеции равна $\displaystyle\bf \left(17\frac{1}{2} -ln6\right)$ ед².

Б) Объем тела вращения вокруг оси Ох равен 9π ед³.

Пошаговое объяснение:

A) Найти площадь криволинейной трапеции:

xy = 6;   x + y - 7 = 0;

Б) Найти объем тела вращения:

xy = 4;   x + y - 5 = 0.

А) xy = 6;   x + y - 7 = 0

Из равенств выразим у:

$\displaystyle\bf y=\frac{6}{x} ;\;\;\;\;\;y=7-x$

Построим графики:  

$\displaystyle\bf y=\frac{6}{x}$   - график - гипербола, расположен в 1 и 3 четвертях.

y = 7 - x - линейная функция, график - прямая.

Найдем точки пересечения этих графиков:

$\displaystyle\bf \frac{6}{x}=7-x\;\;\;|\cdot{x};\;\;\;x\neq 0\\ \\6=7x-x^2\\\\x^2-7x+6=0$

По теореме Виета:

х₁ = 1;     х₂ = 6

Площадь найдем по формуле:

$\displaystyle\bf \boxed {S=\int\limits^b_a {(f_2(x)-f_1(x))} \, dx }$

Нам понадобится формула Ньютона - Лейбница:

$\displaystyle\bf \boxed {\int\limits^b_a {f(x)} \, dx =F(b)-F(a)}$

У нас а = 1; b = 6; f₁(x) = 6/x; f₂(x) = 7 - x.

Можем найти площадь:

$\displaystyle\bf S=\int\limits^6_1 {\left(7-x-\frac{6}{x}\right) } \, dx =\\\\=\left(7x-\frac{x^2}{2}-ln|x|\right)\bigg|^6_1=\\ \\=42-18-ln6-7+\frac{1}{2}+ln1=\\ \\=17\frac{1}{2}-ln6$

Площадь криволинейной трапеции равна $\displaystyle\bf \left(17\frac{1}{2} -ln6\right)$ ед².

Б) xy = 4;   x + y - 5 = 0

Из равенств выразим у:

$\displaystyle\bf y=\frac{4}{x} ;\;\;\;\;\;y=5-x$

Построим графики:  

$\displaystyle\bf y=\frac{4}{x}$   - график - гипербола, расположен в 1 и 3 четвертях.

y = 5 - x - линейная функция, график - прямая.

Найдем точки пересечения этих графиков:

$\displaystyle\bf \frac{4}{x}=5-x\;\;\;|\cdot{x};\;\;\;x\neq 0\\ \\4=5x-x^2\\\\x^2-5x+4=0$

По теореме Виета:

х₁ = 1;     х₂ = 4

Данная фигура симметрична относительно начала координат, поэтому без разницы, вокруг какой оси вращать данную фигуру.

Будем вращать вокруг Ох.

Объем тела вращения вокруг оси Ох найдем по формуле:

$\displaystyle\bf \boxed {V_{Ox}=\pi \int\limits^b_a {(y_2^2(x)-y^2_1(x))} \, dx }$

У нас а = 1; b = 4;  y₂ = 5 - x;   y₁ = 4/x.

Найдем объем:

$\displaystyle\bf V_{Ox}=\pi \int\limits^4_1 {\left((5-x)^2-\frac{16}{x^2}\right) } \, dx =\\\\=\pi \int\limits^4_1 {\left(25-10x+x^2-16x^{-2}\right) } \, dx=\\\\=\pi \left(25x-10\cdot{\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-16\cdot\frac{x^{-1}}{-1} }\right)\bigg|^4_1=\\\\=\pi \left(25x-5x^2+\frac{x^3}{3}+\frac{16}{x} }\right)\bigg|^4_1=$

$\displaystyle\bf =\pi \left(25x-5x^2+\frac{x^3}{3}+\frac{16}{x} }\right)\bigg|^4_1=\\\\=\pi \left(100-80+\frac{64}{3}+4-25+5-\frac{1}{3} -16\right)=9\pi$

Объем тела вращения вокруг оси Ох равен 9π ед³.

#SPJ1