Question

Помогите пожалуйста вычислить предел по правилу Лопиталя

Answer 1

Ответ:

Правило Лопиталя можно применять для раскрытия

неопределённостей вида   $\dfrac{0}{0}$  и   $\dfrac{\infty }{\infty }$  :   $\lim\limits_{x \to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x \to x_0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$   .

$\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{6}}\dfrac{1-2sinx}{1-\sqrt3\, tgx}=\Big[\dfrac{0}{0}\Big]=\lim\limits_{x \to \frac{\pi }{6}}\dfrac{(1-2\, sinx)'}{(1-\sqrt3\, tgx)'}=\lim\limits_{x \to \frac{\pi }{6}}\dfrac{-2\, cosx}{-\sqrt3\cdot \frac{1}{cos^2x}}=\\\\\\=\lim\limits_{x \to \frac{\pi }{6}}\dfrac{2\, cos^3x}{\sqrt3}=\dfrac{2}{\sqrt3}\lim\limits_{x \to \frac{\pi }{6}}(cos^3x)=\Big[\, cos^3\dfrac{\pi}{6}=\Big(\dfrac{\sqrt3}{2}\Big)^3=\dfrac{3\sqrt3}{8}\, \Big]=$  

$=\dfrac{2}{\sqrt3}}\cdot \dfrac{3\sqrt3}{8}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}$