Question

Данный интеграл имеет решение?
Если есть решение написать его.


БЕЗ СПАМА!!!!

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

$\int\limits^{\sqrt{5}} _{-\sqrt{5}} {(-2-(-\sqrt{9-x^2} ))} \, dx .$

ОДЗ: 9-x²≥0     (3+x)*(3-x)≥0       x∈[-3;3]     [-√5;√5] ∈ [-3;3].

Подинтегральная функция является чётной функцией (f(-x)=f(x)).

Так как пределы симметричные     ⇒    запишем интеграл, как удвоенный интеграл по половинному промежутку:

$2*\int\limits^{\sqrt{5} }_0 {(-2-(-\sqrt{9-x^2})) } \, dx=2* \int\limits^{\sqrt{5} }_0 ({\sqrt{9-x^2}-2 )} \, dx=\\=2*\int\limits^{\sqrt{5} }_0 {\sqrt{9-x^2}} \, dx-\int\limits^{\sqrt{5} }_0 4 \, dx=\int\limits^{\sqrt{5} }_0 {\sqrt{9-x^2}} \, dx-4x\ |_0^{\sqrt{5}} =2*\int\limits^{\sqrt{5} }_0 {\sqrt{9-x^2}} \, dx-4\sqrt{5} .$

$\int\sqrt{9-x^2}dx=\boxed {\left {x=3*sinu\ \ \ \ sinu=\frac{x}{3} \ \ \ \ u=arcsin\frac{x}{3} \ \ \ \ dx=3*cosudu} \atop {9-x^2=9-(3sinu)^2=9-9sin^2u=9*(1-sin^2u)=9cos^2u}} \right. } =\\=\int(\sqrt{9cos^2u} *3*cosu)du=\int(3*cosu*3*cosu)du=\int(9cos^2u)du=\\=9*\int cos^2udu=9*\int \frac{cos(2u)+1}{2}du=\frac{9}{2} *\int (cos(2u)+1)du= \frac{9}{4}sin(2u)+\frac{9}{2}u=$

$=\frac{9}{4}*2*sinu*cosu +\frac{9}{2}u=\frac{9}{2}*\frac{x}{3}*\frac{\sqrt{9-x^2} }{3} +\frac{9*arcsin\frac{x}{3} }{2} =\frac{x*\sqrt{9-x^2} }{2}+\frac{9*arcsin\frac{x}{3} }{2} .$

$2* {(\frac{x*\sqrt{9-x^2}} {2}+\frac{9*arcsin\frac{x}{3} }{2} }) } \ |_0^{\sqrt{5}} -4\sqrt{5} =(x*\sqrt{9-x^2} +9*arcsin\frac{x}{3} )\ |_0^{\sqrt{5}} -4\sqrt{5} =\\=\sqrt{5} *\sqrt{9-(\sqrt{5})^2 } +9*arcsin\frac{\sqrt{5} }{3} -0*\sqrt{9-0}-4\sqrt{5}=\\ =\sqrt{5}*\sqrt{4} } +9*arcsin\frac{\sqrt{5} }{3}-0-4\sqrt{5}=2\sqrt{5} + 9*arcsin\frac{\sqrt{5} }{3}-4\sqrt{5}=\\= 9*arcsin\frac{\sqrt{5} }{3}}-2\sqrt{5} .$