Question

5.012

В разложении $\left ( ~\sqrt{\dfrac{b}{a }} +\sqrt[10]{\dfrac{a^7}{b^3}} ~\right )^n$ имеется член содержащий ab . Найти этот член

Answer 1

Ответ:

Искомый член равен

$C_{10}^5 \cdot a\cdot b \: \: \:$

или

$252\cdot a\cdot b$

Пошаговое объяснение:

${ \bigg( \sqrt{ \large\tfrac{b}{a }} +\sqrt[10]{\large\tfrac{a^7}{b^3}} \bigg)}^{n} \:$

Это выражение - ни что иное, как пресловутый бином Ньютона, "окошмаренный" сложной вязью степеней.

Однако, это выражение можно представить и так:

$\left ( ~ \small\sqrt{\dfrac{b}{a }} +\sqrt[10]{\dfrac{a^7}{b^3}} ~\right )^n \: < = > (x + y)^{n}$

где х, у - наши дроби, которые стоит преобразовать:

$x = \sqrt{\frac{b}{a }} = \frac{ {b}^{ \frac{1}{2} } }{ {a}^{ \frac{1}{2} } }= \frac{ {b}^{^{0.5}} }{ {a}^{^{0.5}} } \: \: \: \: \\ y = \sqrt[10]{\dfrac{a^7}{b^3}} = \frac{ {a}^{ \frac{7}{10} } }{ {b}^{ \frac{3}{10} } } =\frac{ {a}^{^{ 0.7} } }{ {b}^{^{ 0.3}} }$

(х, у взяты вместо "каноничных" a, b чтобы не вносить путаницу)

А формула бинома ньютона записывается вот так:

${(x+y)}^n=\displaystyle\sum_{k=0}^nC_n^k {\cdot}x^{n-k}{\cdot}y^k$

Заменяем х, у обратно:

${(x+y)}^n=\displaystyle\sum_{k=0}^nC_n^k {\cdot}x^{n-k}{\cdot}y^k; \\ x = \frac{ {b}^{^{0.5}} }{ {a}^{^{0.5}} } \: ; \: \: y =\frac{ {a}^{^{0.7}} }{ {b}^{^{0.3}} } \\ \\ { \bigg(\frac{ {b}^{^{0.5}} }{ {a}^{^{0.5}} } {+}\frac{ {a}^{^{0.7}} }{ {b}^{^{0.3}} }\bigg)}^n=\displaystyle\sum_{k=0}^nC_n^k \cdot\bigg(\frac{ {b}^{^{0.5}} }{ {a}^{^{0.5}} }\bigg)^{n{-}k}{\cdot}\bigg(\frac{ {a}^{^{0.7}} }{ {b}^{^{0.3}} }\bigg)^k;$

Нам известно, что один член содержит a•b.

Так, пусть это будет некий k-й член, который можно записать так:

$C_n^k \cdot\bigg(\frac{ {b}^{^{0.5}} }{ {a}^{^{0.5}} }\bigg)^{n{-}k}{\cdot}\bigg(\frac{ {a}^{^{0.7}} }{ {b}^{^{0.3}} }\bigg)^k$

И становится очевидно, что если имеется член содержащий ab, то должно выполняться равенство:

$C_n^k{ \cdot}\bigg(\frac{ {b}^{^{0.5}} }{ {a}^{^{0.5}} }\bigg)^{n{-}k}{\cdot}\bigg(\frac{ {a}^{^{0.7}} }{ {b}^{^{0.3}} }\bigg)^k = C{ \cdot}a{ \cdot}b$

где С - это остальная часть искомого члена (часть, кроме ab).

Преобразуем левую часть:

$\small C_n^k{ \cdot}\bigg(\frac{ {b}^{^{0.5}} }{ {a}^{^{0.5}} }\bigg)^{n{-}k}{\cdot}\bigg(\frac{ {a}^{^{0.7}} }{ {b}^{^{0.3}} }\bigg)^k = \\ = C_n^k \cdot\frac{ {b}^{^{0.5(n - k)}} }{ {a}^{^{0.5(n - k)}} }\cdot\frac{ {a}^{^{0.7k}} }{ {b}^{^{0.3k}} } = \\ = C_n^k \cdot\frac{ {b}^{^{0.5n - 0.5k}} \cdot {a}^{^{0.7k}}}{ {a}^{^{0.5n - 0.5k}} \cdot {b}^{^{0.3k}} } = \\ = C_n^k \cdot\frac{ {b}^{^{0.5n - 0.5k \boxed{ _{^{ - 0.3k}}}}} \cdot {a}^{^{0.7k\boxed{ _{^{ -0.5n + 0.5k}}}}}}{\cancel{ {a}^{^{0.5n - 0.5k}}} \cdot \cancel{{b}^{^{0.3k}} }} = \\ = C_n^k \cdot{b}^{0.5n - 0.5k - 0.3k } \cdot {a}^{0.7k{ -0.5n + 0.5k}} = \\ = C_n^k \cdot{b}^{0.5n - 0.8k } \cdot {a}^{1.2k -0.5n } = \\ = C_n^k \cdot {a}^{1.2k -0.5n } \cdot{b}^{0.5n - 0.8k }$

И становится очевидно, что если имеется член содержащий ab (что равносильно a¹b¹, то должно выполняться равенство:

${a}^{1.2k -0.5n } \cdot{b}^{0.5n - 0.8k } = {a}^{1 } \cdot{b}^{1}$

А это означает ничто иное как что степень и при a, и при b в левой части уравнения равна 1

Это удобно выразить системой для а и для b

${a}^{1.2k -0.5n } \cdot{b}^{0.5n - 0.8k } = {a}^{1 } \cdot{b}^{1} \;\: \: {<=}{>}\\ < = > \begin{cases} {a}^{1.2k -0.5n } = {a}^{1 } \\ {b}^{0.5n - 0.8k } = {b}^{1} \end{cases} < = > \\ \small < = > \begin{cases} {1.2k -0.5n } = {1 } \\ {0.5n - 0.8k } = {1} \end{cases} < = > \\ < = > \small\begin{cases} {12k -5n } = {10 } \\ {5n - 8k } = {10} \end{cases}{ + } \: \: \: < = > \\ \small < = > \begin{cases} {12k -5n } +{5n - 8k } = {10 } + 10 \\ {5n } = {10 + 8k} \end{cases}\\ \small{ < }{= >} \begin{cases} {4k } = {20 } \\ {n } = {2 + 1.6k} \end{cases} \: \:{ < =}{ > } \begin{cases} {k } = \dfrac{20 }{4} = 5 \\ {n } = {2 + 5\cdot1.6 = 10} \end{cases} \: \: \\ \begin{cases} {k } = {5} \\ {n } = {10} \end{cases} \: \:$

То есть значение степени n = 10, а сам член шестой (5+1 = 6, т.к. отсчет ведется со значения k = 0). Также он содержит $C_n^k$, т.е.

$C = C_n^k =C_{10}^5$

Запишем искомый член полностью:

Он равен:

$C_{10}^5 \cdot a\cdot b$

Можно вычислить $C_{10}^5$

$C_{10}^5 = \large \tfrac{10!}{5!(10 - 5)!} = \tfrac{10!}{5!\cdot5!} = \\ = \large \tfrac{1{\cdot}2{\cdot}...{\cdot}5\cdot6 {\cdot}7{\cdot}...{\cdot}10 }{1{\cdot}2{\cdot}3{\cdot}4{\cdot}5\cdot 1{\cdot}2{\cdot}3{\cdot}4{\cdot}5} = \\ \large = \tfrac{6 {\cdot}7{\cdot}8{\cdot}9{\cdot}10 }{1{\cdot}2{\cdot}3{\cdot}4{\cdot}5} = \tfrac{7\cdot8\cdot9\cdot \cancel{(6\cdot10 )}}{1\cdot2\cdot\cancel{(3\cdot4\cdot5)}} = \\ \large= \tfrac{7\cdot8\cdot9}{2} \small= 7\cdot4\cdot9 = 252$

Тогда искомый член равен:

$C_{10}^5 \cdot a\cdot b \: \: \: \: { < =}{ >} \: \: \: 252\cdot a\cdot b$