Question

[5.009]

Сумма нечетных биномиальных коэффициентов разложения
$\left(ax +x^{-\frac{1}{4} }\right )^n$ равна 512 . Определить слагаемое , не содержащее x

Answer 1

Ответ:

             $\Big(ax+x^{-\frac{1}{4}}\Big)^{n}$        

Бином Ньютона:

$(a+b)^{n}=C_{n}^0\cdot a^{n}+C_{n}^1\cdot a^{n-1}\, b+C_n}^2\cdot a^{n-2}\, b^2+...+C_{n}^{n-1}\cdot a\, b^{n-1}+C_{n}^{n}\cdot b^{n}$  ,

где  $C_{n}^{k}=\dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}$   - биномиальные коэффициенты .

В заданном примере вместо  $a$  записано  $ax$ , вместо  $b$ записано $x^{-\frac{1}{4}}$

Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечётных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на чётных местах, поэтому сумма всех коэффициентов разложения равна  512+512=1024 .

По свойству, сумма всех биномиальных коэффициентов разложения

равна  $2^{n}$  .  Значит,   $2^{n}=1024\ \ ,\ \ 2^{n}=2^{10}\ \ ,\ \ n=10$  .

То есть в заданном примере  n=10 .

Cлагаемое, не содержащее  "х" , будет девятым, так как девятое слагаемое будет иметь вид

$T_9=C_{10}^8\cdot (ax)^{10-8}\cdot \Big(x^{-\frac{1}{4}}\Big)^8=\dfrac{10!}{8!\cdot 2!}\cdot a^2\, x^2\cdot x^{-2}=\dfrac{9\cdot 10}{2}\cdot a^2\cdot x^{2-2}=\\\\=45a^2\cdot x^0=45a^2$    

P.S. Можно было выписать общий вид члена разложения под номером  (k+1) , это будет  

$T_{k+1}=C_{10}^{k}\cdot (ax)^{10-k}\cdot \Big(x^{-\frac{1}{4}}\Big)^{k}=C_{10}^{k}\cdot a^{10-k}\cdot x^{10-k}\cdot x^{-\frac{k}{4}}=\\\\=C_{10}^{k}\cdot a^{10-k}\cdot x^{10-k-\frac{k}{4}}$  

Чтобы в слагаемом не содержался  "х"  , надо , чтобы показатель степени  "х" был равен 0 , то есть

$10-k-\dfrac{k}{4}=0\ \ ,\ \ \ 10=\dfrac{5k}{4}\ \ ,\ \ \ k=\dfrac{10\cdot 4}{5}=8$  

Тогда   $T_{k+1}=T_{8+1}=T_9$  . Значит номер слагаемого , не содержащего  "х" , равен 9 .