Question

Помогите, пожалуйста, решить уравнение

Answer 1

Ответ:

х = 3

Объяснение:

$\log_{3}(2x^2 - 9) - \log_{3}{x} = 1$

ОДЗ:

$\begin{cases} 2x^{2}{ - }9 > 0 \\ x > 0 \end{cases} < = > \begin{cases} (x{- } \frac{3 }{\sqrt{2}}) (x {+} \frac{3}{ \sqrt{2}}) > 0 \\ x > 0 \end{cases} \\ \small \begin{cases} \bigg[ \large^{x < - \tfrac{3} {\sqrt{2}}} _{x > \tfrac{3}{ \sqrt{2}}} \\ x > 0 \end{cases} = > x \: \in \big( \large \tfrac{3}{ \sqrt{2} }; \small+ \infty \big)$

$\log_{3}(2x^{2} - 9) - \log_{3}{x} = 1 \\ \log_{3} \frac{2x^{2} - 9}{x} = 1 \\ \log_{3} \frac{2x^{2} - 9}{x} = \log_{3} 3 \\ \frac{2x^{2} - 9}{x} = 3 \\ 2 {x}^{2} - 9 = 3x \\ 2 {x}^{2} - 3x - 9 = 0 \\ {x}^{2} - 1.5x - 4.5 = 0$

По Т. Виетта:

$3 - 1.5 = 1.5; \: \: \: \: \: \;\; \\ 3\cdot(-1.5)=-4.5 \:$

Следовательно можно разбить на множители

$(x + 1.5)(x - 3) = 0 \: \: \: < = > \\ < = > \left[ \begin{array}{l} x + 1.5 = 0 \\ x - 3= 0\: \end{array} \right. < = > \left[ \begin{array}{l} x = - 1.5 \\ x = 3\end{array} \right.$

С учетом ОДЗ:

$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x = - 1.5 \\ x = 3\: \end{array} \right. \\ x > \frac{3}{ \sqrt{2}} \end{cases} < = > x = 3$

Ответ: х = 3