Question

Помогите, пожалуйста, решить логарифмическое неравенство
$\displaystyle 7log_{12}({x}^{2} - 2x - 8) \leqslant 8 + log_{12} \frac {{(x+2)}^{7}}{x-4}$

Answer 1

ОДЗ :

$\displaystyle\bf\\\left \{ {{x^{2} -2x-8 > 0} \atop {\dfrac{(x+2)^{7} }{x-4} > 0}} \right. \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \left \{ {{(x+2)(x-4) > 0} \atop {(x+2)^{7} \cdot(x-4) > 0}} \right. \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \left[\begin{array}{ccc}x < -2\\x > 4\end{array}\right\\\\\\7\log_{12} (x^{2} -2x-8)\leq 8+\log_{12} \frac{(x+2)^{7} }{x-4} \\\\\\7\log_{12} (x^{2} -2x-8)-\log_{12} \frac{(x+2)^{7} }{x-4} \leq 8\\\\\\7\log_{12} (x+2)(x-4))-\log_{12} \frac{(x+2)^{7} }{x-4} \leq 8$

$\displaystyle\bf\\\log_{12} \frac{(x+2)^{7} (x-4)^{7} (x-4)}{(x+2)^{7} } \leq 8\\\\\\\log_{12} (x-4)^{8} \leq 8\\\\\\4\log_{12} (x-4)^{2} \leq 8\\\\\\\log_{12} (x-4)^{2} \leq 2\\\\\\(x-4)^{2} \leq 144\\\\\\x^{2} -8x+16-144\leq 0\\\\\\x^{2}-8x-128\leq0\\\\\\(x-16)(x+8)\leq 0\\\\\\x\in\Big[-8\ ; \ 16\Big]$

С учётом ОДЗ окончательный ответ :

$\displaystyle\bf\\Otvet \ : \ x\in \Big[-8 \ ; \ -2\Big) \cup \ \Big(4 \ ; \ 16\Big]$